ES 106

(α + i·β)·(α - i·β) = α^2 + β^2

α = a + 3

β = 1 - a

(a + 3)^2 + (1 - a)^2 = 16

(a^2 + 6·a + 9) + (a^2 - 2·a + 1) - 16 = 0

2·a^2 + 4·a - 6 = 0

a^2 + 2·a - 3 = 0

(a - 1)·(a + 3) = 0

a = -3 ∨ a = 1

Il prodotto di due complessi coniugati è il quadrato del loro modulo, quali che siano le opposte anomalie.
Quindi l'esercizio chiede quali siano gli eventuali valori del parametro che rendano pari a quattro il modulo di
* z = (a + 3) + i*(1 - a)
Per ispezione si vede il valore a = 1: annullando Im[z] resta solo Re[z] = 1 + 3 = 4.
Resta da risolvere
* (|z|^2 = (a + 3)^2 + (1 - a)^2 = 16) & (a != 1) ≡
≡ (2*a^2 + 4*a - 6 = 0) & (a != 1) ≡
≡ (2*(a + 3)*(a - 1) = 0) & (a != 1) ≡
≡ ((a = - 3) oppure (a = 1)) & (a != 1) ≡
≡ a = - 3