ES 105

Question

Un farmaco viene somministrato a un paziente per via endovenosa. La concentrazione : del farmaco nel sangue del paziente è massima, uguale a $C_0$, subito dopo l'iniezione (che supponiamo avvenire nell'istante $t=0$ ), quindi decresce in modo esponenziale. Il tempo di dimezzamento (emivita) della concentrazione del farmaco nel sangue è di 4 ore.
a. Determina l'espressione analitica della funzione $C(t)$ che esprime la concentrazione del farmaco dopo un tempo $t$ (in ore) dall'iniezione.
b. Di quanto è diminuita, in percentuale, la concentrazione del farmaco dopo 6 ore dall'iniezione?
$$
\left[\text { a. } C(t)=C_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} ; \text { b. circa } 64,6 \%\right]
$$

Potreste svolgerlo, grazie!

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Francesca28

(@francesca28)

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Livello 1

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141 0 45

06/02/2024 15:32

exProf · Accepted Answer

La generica forma del decadimento esponenziale nel tempo è
* a(t) = A*b^(- t/T)
dove
* t = istante segnato dal cronometro di sistema;
* a = grandezza soggetta a decadimento;
* A = a(0) = valore della grandezza all'istante zero;
* b = base dell'esponenziale, positiva a diversa da uno;
* T = durata necessaria per ridurre di 1/b la grandezza.
---------------
Nel caso in esame il dato "emivita di quattro ore" dice tre cose: t in ore; b = 2; T = 4; e dà luogo alla forma
* c(t) = C*2^(- t/4)
che risponde al quesito a.
Il quesito b chiede la diminuzione percentuale d%(t) che si ottiene dal rapporto
* r(t) = 2^(- t/4) = c(t)/C
con la solita formuletta
* d%(t) = 100*(r(0) - r(t))/r(0) = 100*(1 - r(t)) = 100*(1 - 2^(- t/4))
e che, per t = 6, vale
* d%(6) = 100*(1 - 2^(- 6/4)) = 25*(4 - √2) ~= 64.64466 ~= 64.6%

exProf

(@exprof)

57382 punti

livello:

Genius I

13649 Risposte
37 3107 1795

06/02/2024 16:12

remanzini_rinaldo · Answer

dimezzamento in per unità = 0,5

0,5 = e^-4/T

ln 0,5 = -4/T (ln e = 1)

4/T = 0,6931

costante di tempo T = 4/0,6931 = 5,771 h

concentrazione residua Cr dopo 6 h :

Cr = e^-6/T = 2,7182818^(-6/5,771) = 0,354 (35,4 %)

decremento percentuale = 100(1-Cr) = 64,6%

remanzini_rinaldo

(@remanzini_rinaldo)

114448 punti

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Genius II

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07/02/2024 06:21

[Risolto] ES 105

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