[Risolto] Es 10, Teoremi di Pitagora e di Euclide

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10)

Nel triangolo rettangolo la mediana corrisponde al raggio del cerchio circoscritto per cui l'ipotenusa è il doppio della mediana quindi, sapendo che il triangolo ACD è equilatero, poni:

mediana $CD= x;$

cateto $AC= x;$

ipotenusa $AB= 2x;$

conoscendo il cateto $BC= 6\sqrt3\,cm$ e applicando il teorema di Pitagora imposta la seguente equazione:

$(2x)^2-x^2 = (6\sqrt3)^2$

$4x^2-x^2 = 36×3$

$3x^2 = 108$

$\dfrac{\cancel3x^2}{\cancel3} = \dfrac{108}{3}$

$x^2 = 36$

$\sqrt{x^2} = \sqrt{36}$

$x= 6$

per cui risulta:

mediana $CD= x = 6\,cm;$

cateto $AC= x = 6\,cm;$

ipotenusa $AB= 2x = 2×6 = 12\,cm;$

allora:

altezza del triangolo rettangolo relativa all'ipotenusa = altezza dell'equilatero:

$h= \dfrac{6×6\sqrt3}{12} = 3\sqrt3\,cm;$

area del triangolo BCD:

$A_{BCD} = A_{ABC}-A_{ACD} = \dfrac{6×6\sqrt3}{2}-\dfrac{6×3\sqrt3}{2} = 18\sqrt3 -9\sqrt3 = 9\sqrt3\,cm^2.$