[Risolto] Equazioni trigonometria semplici

Ciao!

Esercizio1

$\sin^2 x + 3 \sin x + 3 = 0$

è un'equazione di secondo grado dove l'incognita è $\sin x$

possiamo usare la tecnica dell'incognita ausiliaria: poniamo $ t = \sin x$, da cui $t^2 = \sin^2 x$ e possiamo sostituire ottenendo

$t^2+3t+3 = 0$ che è un'equazione di secondo grado "normale", come altre che avrai sicuramente già affrontato!

Risolviamola. Essa ha delta: $\Delta = 3^3-4(1)(3) = 9 - 12 < 0 $ quindi è impossibile.

Esercizio 2

$\cos^2 x -\cos x - \sin^2 x = 0$

anche questa è un'equazione di secondo grado, ma le incognite sono due! sia $\sin x$ che $\cos x$. Dobbiamo rimuoverne una e possiamo utilizzare la regola fondamentale trigonometrica:
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ per ottenere che

$\sin^2 x = 1- \cos^2 x$

Avremmo potuto anche effettuare la scelta $ \cos^2 x = 1- \sin^2 x$ ma sarebbe stata poco furba: nell'equazione c'è infatti un altro $\cos$ quindi potrebbe esserci utile successivamente una sostituzione, quindi meglio avere un'equazione che presenta sempre la stessa espressione trigonometrica!

Sostituendo:

$\cos^2 x - \cos x - (1 - \cos^2 x) = 0$
$\cos^2 x - \cos x - 1 + \cos^2 x = 0$

$2 \cos^2 x - \cos x -1 = 0$

adesso abbiamo un'equazione di secondo grado nella sola incognita $\cos$, quindi possiamo fare come nell'esercizio $1$ e usare la tecnica della sostituzione:

$ t = \cos x$ ottenendo

$2t^2-t -1 = 0$

$\Delta = 1-4(2)(-1) = 9$

$t = \frac{1 \pm 3}{4} \Rightarrow t = 1 \ \vee t = -\frac12$

allora, tornando al $\cos$:   $\cos x = 1 \ \Rightarrow x = 0 + 2 k \pi$

e $\cos x = -\frac12 \ \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k \pi$

Esercizio 3 

$4 \cos x + 4 \sin x - 3 = 0$

qui utilizziamo le trasformazioni lineari:

chiamiamo $ X = \cos x$ e $Y = \sin x$. queste due nuove variabili devono soddisfare la nostra equazione, quindi 

$4 X +4 Y -3 = 0$

ma, dato che sono seno e coseno, devono soddisfare anche al relazione fondamentale, cioè $X^2+Y^2 -3 = 0$

mettiamo quindi le due condizioni a sistema:

$\begin{cases} 4 X +4 Y -3 = 0 \\  X^2+Y^2 -3 = 0 \end{cases}$

esplicitiamo $Y$ nella prima e sostiuiamola nella seconda:

$\begin{cases} Y = -X + \frac34 \\ X^2 + (-X + \frac34)^2 -3 = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} Y = -X + \frac34 \\ X^2 + X^2+\frac{9}{16} -\frac32 X -3 = 0 \end{cases} $

e la seconda espressione ci dà nuovamente un'equazione di secondo grado:

$X^2 + X^2+\frac{9}{16} -\frac32 X -3 = 0$

$2 X^2 -\frac32 X -\frac{39}{16} = 0$

$ 32 X^2 - 24 X - 39 = 0$

$ X = \frac{24 \pm 4 \sqrt{87} }{64} =\frac{6 \pm \sqrt{87}}{16} $

dato che $ X= \cos x$, allora

$\cos x = \frac{6 + \sqrt{87}}{16} \Rightarrow x = \arccos (\frac{6 + \sqrt{87}}{16} ) $

$ \cos x = \frac{6 - \sqrt{87}}{16} \Rightarrow x = \arccos (\frac{6 - \sqrt{87}}{16})$

Ciao.. le prime due equazioni sono di secondo grado. E ho usato l'incognita ausiliaria e risolto l'equazione di secondo grado.

La terza è lineare (di 1 grado) in seno e coseno, con termine noto. E ho usato le formule trigonometriche.

Dopo di che svolto l'equazione di secondo grado e poi le due equazioni elementari in tangente.

Nella prima equazione sostituirei t=senx, ottenendo t^2+3t+3=0, eq di secondo grado in t incognita, che risulta impossibile (delta negativo)

Nella seconda senx^2=1-cosx^2, da cui cosx^2 -cosx -1 +cosx^2=0

diventa 2cosx^2 -cosx -1=0. Sostituisco t=cosx e ottengo 2t^2 -t-1=0.

Procedo come prima e ottengo t1=1 e t2=-1/2

Risostituisco e ottengo cosx=1 x=0 +2kpi

cosx=-1/2 x=2/3pi +2kpi x=4/3pi +2kpi

Nella terza metto a sistema con senx^2 + cosx^2=1

Sostituisco per comodità X=senx Y=cosx

da cui 4X+4Y -3=0

e X^2+Y^2=1. Sostituisco la prima nella seconda

2Y^2-6/4Y-7/16=0

e ottengo le due soluzioni Y=cosx= 3/8 +-(sqrt23)/8

Potrei aver sbagliato qualche calcolo ma questo è il procedimento.

da qui i valori di x corrispondono a cos^-1 dei due risultati.