[Risolto] equazioni seno e coseno

3·SIN(x)^2 + 2·√3·SIN(x)·COS(x) + 5·COS(x)^2 - 3 = 0

pongo:

SIN(x) = Υ

COS(x) = Χ

quindi scrivo:

{3·Υ^2 + 2·√3·Υ·Χ + 5·Χ^2 - 3 = 0

{Υ^2 + Χ^2 = 1

--------------------

Riscrivo la prima

3·Υ^2 + 2·√3·Υ·Χ + (3·Χ^2 + 2·Χ^2) - 3 = 0

3 + 2·√3·Υ·Χ + 2·Χ^2 - 3 = 0 (tenendo conto della seconda)

2·√3·Υ·Χ + 2·Χ^2 = 0

2·Χ·(√3·Υ + Χ) = 0

quindi deve essere: Χ = - √3·Υ ∨ Χ = 0

Per Χ = 0 si ha:

COS(x) = 0-------> x = pi/2 + k·pi

Per Χ = - √3·Υ si ha:

Χ/Υ = COT(x) = - √3

x = 5·pi/6 ∨ x = - pi/6

generalizzando:

x = - pi/6 + k·pi

Bell'indizio, così va meglio.
L'equazione
289) 3*sin^2(x) + (2*√3)*sin(x)*cos(x) + 5*cos^2(x) - 3 = 0
è di grado due in seno e coseno, quindi ha periodo π e così basta pensare al primo mezzo giro (0 <= x < π) salvo reintrodurre la periodicità sui risultati finali.
Da
* c = cos(x)
* s = sin(x)
* c^2 + s^2 = 1
si ha
289) 3*sin^2(x) + (2*√3)*sin(x)*cos(x) + 5*cos^2(x) - 3 = 0 ≡
≡ (3*s^2 + (2*√3)*c*s + 5*c^2 - 3 = 0) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ (3*s^2 + 3*c^2 + 2*c^2 + (2*√3)*c*s - 3 = 0) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ ((c + (√3)*s)*c = 0) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ ((c = - (√3)*s) oppure (c = 0)) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ (c = - (√3)*s) & (c^2 + s^2 = 1) oppure (c = 0) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ (c = - √3/2) & (s = 1/2) oppure (c = √3/2) & (s = - 1/2) oppure (c = 0) & (s = - 1) oppure (c = 0) & (s = 1)
da cui, applicando a ciascuna delle quattro soluzioni la limitazione al primo periodo, si ha
* (cos(x) = - √3/2) & (sin(x) = 1/2) & (0 <= x < π) ≡ x = 5*π/6
* (cos(x) = √3/2) & (sin(x) = - 1/2) & (0 <= x < π) ≡ impossibile
* (cos(x) = 0) & (sin(x) = - 1) & (0 <= x < π) ≡ impossibile
* (cos(x) = 0) & (sin(x) = 1) & (0 <= x < π) ≡ x = π/2
Conclusione
289) 3*sin^2(x) + (2*√3)*sin(x)*cos(x) + 5*cos^2(x) - 3 = 0 ≡
≡ ((x = π/2 + k*π) oppure (x = 5*π/6 + k*π)) & (k ∈ Z)