[Risolto] equazioni rette

In realtà hai calcolato il piano parallelo a quello assegnato e passante per P, non la retta.

In ogni caso il piano $6x-4y+3z-9=0$ è un piano che contiene la retta r.

Intersechiamo quindi questo piano con i due piani che individuano la retta s per trovare il punto di intersezione tra r ed s:

{$6x-4y+3z-9=0$

{$2x+3y+1=0$

{$3y+4z-1=0$

Risolvendo (ometto i calcoli) otteniamo:

$Q = (\frac{37}{61}, \frac{-45}{61}, \frac{49}{61})$

Troviamo il vettore passante per P e Q:

$\vec{QP} = P - Q = (1,0,1) - (\frac{37}{61}, \frac{-45}{61}, \frac{49}{61})  = (\frac{24}{61}, \frac{-45}{61}, \frac{12}{61})$

Dunque la retta passante per P con vettore direttore QP in forma parametrica è:

{$ x = 1 +\frac{24}{61} t$

{$ y = 0 + \frac{-45}{61}t$

{$ z = 1 +\frac{12}{61}$

Scriviamola in forma cartesiana isolando la t in ogni equazione:

{$ t = \frac{61}{24}(x-1)$

{$ t = \frac{61}{-45} y$

{$ t = \frac{61}{12}(z-1)$

Quindi la retta in forma cartesiana è:

$\frac{61}{24}(x-1) = \frac{61}{-45} y = \frac{61}{12}(z-1)$

Dividendo tutto per 61:

$ \frac{x-1}{24} = \frac{y}{-45} = \frac{z-1}{12}$

(Mi sembra molto più intuitivo scrivere la soluzione così piuttosto che come intersezione di due piani)

Noemi

@annalisa0707

Ciao. Eri a metà dell'opera: la retta che devi cercare è intersezione di due piani, ognuno dei quali passa per il punto dato [1, 0, 1]

Un piano l'avevi trovato. Hai quindi svolto i seguenti calcoli:

6·x - 4·y + 3·z + 2 = 0 

piano parallelo: 6·x - 4·y + 3·z + d = 0

La retta si trova sul piano:

6·1 - 4·0 + 3·1 + d = 0-----> d + 9 = 0---> d = -9

quindi 6·x - 4·y + 3·z - 9 = 0

Adesso consideri un fascio di piani che abbia come sostegno la retta data, cioè:

{2·x + 3·y + 1 = 0

{3·y + 4·z - 1 = 0

quindi consideri: 2·x + 3·y + 1 + λ·(3·y + 4·z - 1) = 0

ossia: 2·x + y·(3·λ + 3) + 4·λ·z - λ = -1

Imponi il passaggio per il punto dato:

2·1 + 0·(3·λ + 3) + 4·λ·1 - λ = -1

3·λ + 2 = -1---> λ = -1

quindi ottieni l'altro piano:

2·x + y·(3·(-1) + 3) + 4·(-1)·z - -1 = -1

2·x - 4·z + 1 = -1

2·x - 4·z + 2 = 0

x - 2·z + 1 = 0

Quindi metti a sistema i piani trovati ed hai la retta:

{6·x - 4·y + 3·z - 9 = 0

{x - 2·z + 1 = 0