E' data l'equazione $(k-1) x^2-k x+3-k=0, \operatorname{con} k \neq 1$. Determina per quali valori di $k$ :
a. ha soluzioni reali distinte, la cui somma è maggiore di 3;
b. ha soluzioni reali distinte e concordi;
c. ha soluzioni reali distinte e la somma dei quadrati delle radici è maggiore o uguale a 4.
$$
\left[\text { a. } 1<k<\frac{6}{5} ; \text { b. } 1<k<\frac{6}{5} \vee 2<k<3 ; \text { c. }-\sqrt{2} \leq k<\frac{6}{5} A k \neq 1\right]
$$
esercizio 696
5
punti
Livello 0
Foto dritta!!
(k - 1)·x^2 - k·x + (3 - k) = 0 con k ≠ 1
Per avere radici reali e distinte deve essere:
Δ > 0 cioè: k^2 - 4·(k - 1)·(3 - k) > 0
5·k^2 - 16·k + 12 > 0
k < 6/5 ∨ k > 2
-------------------------------------------------
Quindi bisogna considerare il sistema:
{- b/a > 3
{Δ > 0
per cui:
{k/(k - 1) > 3
{k < 6/5 ∨ k > 2
quindi:
{1 < k < 3/2
{k < 6/5 ∨ k > 2
Risolvo: [1 < k < 6/5]
---------------------------------------------
Si deve avere.
{c/a > 0
{Δ > 0
cioè:
{(3 - k)/(k - 1) > 0
{k < 6/5 ∨ k > 2
quindi.
{1 < k < 3
{k < 6/5 ∨ k > 2
soluzione: [1 < k < 6/5, 2 < k < 3]
----------------------------------------
α^2 + β^2 ≥ 4 con α e β le due radici distinte
(α + β)^2 - 2·α·β ≥ 4
(- b/a)^2 - 2·c/a ≥ 4
{(k/(k - 1))^2 - 2·(3 - k)/(k - 1) - 4 ≥ 0
{k < 6/5 ∨ k > 2
Quindi:
{- √2 ≤ k ≤ √2
{k < 6/5 ∨ k > 2
risolvi :[ - √2 ≤ k < 6/5 ∧ k ≠ 1]
99129
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Genius II
Forse non ti risponderò più....
