[Risolto] EQUAZIONI PARAMETRICHE

Ripasso
Un'equazione nella variabile reale x e con coefficienti tutti reali ha per soluzione l'insieme delle sue radici, reali o no.
Se qualche coefficiente è funzione di un parametro reale allora quasi in ogni caso questo sarà anche presente nelle espressioni delle radici e, se è così, si può esaminare la natura di queste al variare del valore del parametro.
Per le equazioni razionali intere (come la #2 che non ha x a denominatore) il Teorema Fondamentale dell'Algebra garentisce che la soluzione è composta di tante radici per quant'è il grado.
Per le equazioni razionali fratte (come la #3 che ha una x a denominatore) prima le si trasforma in un sistema equivalente composto da un'equazione razionale intera e da una condizione restrittiva che dice che nessun denominatore deve azzerarsi. Poi, ricaduti nel caso precedente, si devono escludere dalla soluzione le radici non conformi alla condizione restrittiva.
Esercizio
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A) Dall'originale dell'equazione #3
* x - k - (x + 1)/(2*x - k) = 0 ≡
≡ ((2*x^2 - (3*k + 1)*x + k^2 - 1)/(2*x - k) = 0) & (2*x - k != 0) ≡
≡ (2*x^2 - (3*k + 1)*x + k^2 - 1 = 0) & (x != k/2)
al suo sistema equivalente.
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B) Le equazioni razionali intere di grado due si risolvono con la procedura che Bramegupta pubblicò nel VII secolo.
B1) Ridurre a forma monica
* 5*x^2 - 4*k*x - 9*k^2 = 0 ≡ x^2 - (4*k/5)*x - 9*k^2/5 = 0
* 2*x^2 - (3*k + 1)*x + k^2 - 1 = 0 ≡ x^2 - ((3*k + 1)/2)*x + (k^2 - 1)/2 = 0
B2) Completare il quadrato
* x^2 - (4*k/5)*x = (x - 2*k/5)^2 - (2*k/5)^2
* x^2 - ((3*k + 1)/2)*x = (x - (3*k + 1)/4)^2 - ((3*k + 1)/4)^2
B3) Sostituire ed esprimere il termine noto come opposto di un quadrato
* (x - 2*k/5)^2 - (2*k/5)^2 - 9*k^2/5 = 0 ≡ (x - 2*k/5)^2 - (7*k/5)^2 = 0
* (x - (3*k + 1)/4)^2 - ((3*k + 1)/4)^2 + (k^2 - 1)/2 = 0 ≡ (x - (3*k + 1)/4)^2 - ((k + 3)/4)^2 = 0
B4) Sottrarre membro a membro il termine noto
* (x - 2*k/5)^2 - (7*k/5)^2 = 0 ≡ (x - 2*k/5)^2 = (7*k/5)^2
* (x - (3*k + 1)/4)^2 - ((k + 3)/4)^2 = 0 ≡ (x - (3*k + 1)/4)^2 = ((k + 3)/4)^2
B5) Estrarre membro a membro la radice quadrata
* (x - 2*k/5)^2 = (7*k/5)^2 ≡ x - 2*k/5 = ± 7*k/5
* (x - (3*k + 1)/4)^2 = ((k + 3)/4)^2 ≡ x - (3*k + 1)/4 = ± (k + 3)/4
B6) Isolare la variabile
* x - 2*k/5 = ± 7*k/5 ≡ x = 2*k/5 ± 7*k/5 = (2 ± 7)*k/5
* x - (3*k + 1)/4 = ± (k + 3)/4 ≡ x = (3*k + 1)/4 ± (k + 3)/4 = ((3*k + 1) ± (k + 3))/4
B7) Distinguere le radici
* x = (2 ± 7)*k/5 ≡ (x1 = - k) oppure (x2 = 9*k/5)
* x = ((3*k + 1) ± (k + 3))/4 ≡ (x1 = (k - 1)/2) oppure (x2 = k + 1)
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Per l'equazione tre si deve considerare la condizione restrittiva
* ((x1 = (k - 1)/2) oppure (x2 = k + 1)) & (x != k/2) ≡
≡ (x1 = (k - 1)/2) & (x != k/2) oppure (x2 = k + 1) & (x != k/2) ≡
≡ (x1 = (k - 1)/2) oppure (x2 = k + 1) & (k != - 2) ≡
≡ ((x1 = (k - 1)/2) oppure (x2 = k + 1)) & (k != - 2)
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C) Discutere, se necessario.
E che ne posso sapere io del criterio di necessità che aveva in mente quell'ubriacone?
Per l'equazione due si hanno due radici reali per ogni k e coincidenti per k = 0.
Per l'equazione tre si hanno due radici reali per ogni k != - 2 e coincidenti per k = - 3.

l'esercizio 2 consiste nel calcolare il delta e studiare per quali valori di k esso è:

• negativo (delta<0) quindi non ci saranno soluzioni reali
• nullo (delta=0) ci saranno due soluzioni COINCIDENTI 
• positivo (d>0) ci saranno due soluzioni distinte