Equazioni parametriche

Lo svolgo a pezzi

a) D = b^2 - 4a c > 0

4 - 4k > 0

k < 1

con k =/= 0

b) k * 4 - 2*(-2) + 1 = 0

4k + 5 = 0

k = -5/4

c) -B/A < 0 e C/A > 0 sotto condizione di realtà

2/k < 0 & 1/k > 0

impossibile.

Non si possono avere due permanenze essendo B e C discordi.

d) radici concordi   C/A > 0 =>  1/k > 0 => k > 0

quindi 0 < k < 1

e) x1^2 + x2^2 = 2

(b^2 - 2ac)/a^2 = 2

(4 - 2k) = 2k^2

k^2 + k - 2 = 0

k = 1 V k = -2

f) posso usare il delta generalizzato 

b^2 - (1 + r)^2/r AC = 0

4 - 4^2/3 * k * 1 = 0

16/3 k = 3

k = 3/4 accettabile

Ripasso
A) Si noti preliminarmente che qualsiasi equazione di secondo grado non degenere si può porre nella forma T(x) = 0.
B) In generale, il trinomio quadratico monico T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2),
con discriminante Δ = s^2 − 4*p e zeri X = (s ± √Δ)/2, cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che X1 + X2 = s (somma) e X1 * X2 = p (prodotto).
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
L'equazione T(x) = 0 ha soluzioni X1 e X2 distinte se il discriminante Δ è non nullo: X1 e X2 complesse coniugate se Δ < 0, reali se Δ > 0.
C) Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in un'equazione in k.
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Esercizio
Da
* (k*x^2 - 2*x + 1 = 0) & (k != 0) ≡
≡ (x^2 - (2/k)*x + 1/k = 0) & (k != 0)
si ha
* s = 2/k
* p = 1/k
* Δ = (2/k)^2 − 4*1/k = 4*(1 - k)/k^2
* √Δ = (2/|k|)*√(1 - k)
* X1 = (1/k - √(1 - k)/|k|)
* X2 = (1/k + √(1 - k)/|k|)
* (X1)^2 + (X2)^2 = (X1 + X2)^2 - 2*X1*X2 = s^2 - 2*p = 2*(2 - k)/k^2
* X2/X1 = (|k| + k*√(1 - k))/(|k| - k*√(1 - k))
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Risposte ai quesiti
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a) le radici sono reali e distinte
* Δ = 4*(1 - k)/k^2 > 0 ≡ (k < 0) oppure (0 < k < 1)
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b) una radice è uguale a -2
* (X1 = - 2) oppure (X2 = - 2) ≡
≡ (1/k - √(1 - k)/|k| = - 2) oppure (1/k + √(1 - k)/|k| = - 2) ≡
≡ (k = - 5/4) oppure (impossibile) ≡
≡ k = - 5/4
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c) le radici sono negative
* (Δ > 0) & (X2 < 0) ≡ ((k < 0) oppure (0 < k < 1)) & (1/k + √(1 - k)/|k| < 0) ≡ impossibile
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d) le radici sono concordi
* (Δ > 0) & (p > 0) ≡ ((k < 0) oppure (0 < k < 1)) & (1/k > 0) ≡ 0 < k < 1
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e) la somma dei quadrati delle radici è uguale a 2
* (X1)^2 + (X2)^2 = 2*(2 - k)/k^2 = 2 ≡ (k = - 2) oppure (k = 1)
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f) il rapporto fra le radici è uguale a 3
* X2/X1 = (|k| + k*√(1 - k))/(|k| - k*√(1 - k)) = 3 ≡ k = 3/4