equazioni parametriche

la somma delle radici si trova con la seguente formula:

$x_1+x_2=-b/a$
mentre:

$x_1*x_2=c/a$

questa è la dimostrazione matematica, tratta da un libro della Zanichelli

Ti offro un esempio di approccio sistematico (buono per il futuro) alla famiglia di problemi
«Determinare per quali valori del parametro reale k le radici (X1, X2) dell'equazione
* T(x, k) = x^2 - s(k)*x + p(k) = (x - X1)*(x - X2) = 0
soddisfanno al vincolo V(X1, X2) = 0»
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A) Noto preliminarmente che qualsiasi equazione di secondo grado si può porre nella forma T(x) = 0 su cui si basa il metodo generale che Bramegupta pubblicò nel VII secolo.
Quella data lo è di già
T(x) = x^2 + 2*x + k = 0, con (s(k) = - 2) & (p(k) = k).
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B) In generale, il trinomio quadratico monico T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2),
con discriminante Δ = s^2 − 4*p e zeri X = (s ± √Δ)/2, cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che X1 + X2 = s (somma) e X1 * X2 = p (prodotto).
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
L'equazione T(x) = 0 ha soluzioni X1 e X2 distinte se il discriminante Δ è non nullo: X1 e X2 complesse coniugate se Δ < 0, reali se Δ > 0.
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C) Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in un'equazione in k.
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D) Nel caso in esame.
D1) T(x) = x^2 + 2*x + k = 0, con (s(k) = - 2) & (p(k) = k).
D2) Δ(k) = s^2(k) − 4*p(k) = (- 2)^2 − 4*k = 4*(1 - k)
D3) X1 = (s - √Δ)/2 = - (1 + √(1 - k))
D4) X2 = (s + √Δ)/2 = - (1 - √(1 - k))
D5) Il vincolo X1 = 2*X2, cioè 2*X2 - X1 = 0, si traduce in
* - 2*(1 - √(1 - k)) - (- (1 + √(1 - k))) = 0 ≡
≡ 3*√(1 - k) - 1 = 0 ≡
≡ √(1 - k) = 1/3 ≡
≡ k = 8/9
da cui
T(x) = x^2 + 2*x + 8/9 = (x + 4/3)*(x + 2/3) = 0