[Risolto] Equazioni parametriche

Per determinare i valori di \(k\) per cui l'equazione \(x^2 - 2(k+2)x + k^2 - 3k + 32 = 0\) ammette radici reali e coincidenti, dobbiamo considerare il discriminante dell'equazione quadratica.

L'equazione quadratica generale è della forma \(ax^2 + bx + c = 0\), e il discriminante (\(\Delta\)) è dato da:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Nel tuo caso, l'equazione è \(x^2 - 2(k+2)x + k^2 - 3k + 32 = 0\), quindi \(a = 1\), \(b = -2(k+2)\), e \(c = k^2 - 3k + 32\).

Sostituendo questi valori nella formula del discriminante, otteniamo:

\[ \Delta = (-2(k+2))^2 - 4(1)(k^2 - 3k + 32) \]

Espandendo e semplificando:

\[ \Delta = 4(k^2 + 4k + 4) - 4(k^2 - 3k + 32) \]

\[ \Delta = 4k^2 + 16k + 16 - 4k^2 + 12k - 128 \]

\[ \Delta = 28k - 112 \]

Perché le radici siano reali e coincidenti, il discriminante deve essere uguale a zero:

\[ 28k - 112 = 0 \]

Risolvendo questa equazione per \(k\):

\[ 28k = 112 \]

\[ k = \frac{112}{28} \]

\[ k = 4 \]

Quindi, l'equazione ammette radici reali e coincidenti quando \(k = 4\).

Ciaooo 

L'equazione in forma normale canonica monica
* x^2 - 2*(k + 2)*x + k^2 - 3*k + 32 = 0
ha a primo membro un trinomio di forma
* T(x) = x^2 - s*x + p
con
* s(k) = 2*(k + 2)
* p(k) = k^2 - 3*k + 32
e discriminante
* Δ(k) = s^2 − 4*p = (2*(k + 2))^2 − 4*(k^2 - 3*k + 32) =
= 28*(k - 4)
che, azzerandosi per k = 4, soddisfà alla consegna.