equazioni parametriche

Foto dritte!

Reali e discordi: significa che debba essere:

c/a<0 ma è IMPOSSIBILE essendo

x^2-2(k+3)x+4=0 ----> 4/1=4 >0

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Reali entrambe positive: significa che debba essere

{Δ/4 ≥ 0

{-b/a > 0 (somma positiva)

quindi:

{(k + 3)^2 - 4 ≥ 0

{2·(k + 3)/1 > 0

quindi:

{k^2 + 6·k + 5 ≥ 0-----> k ≤ -5 ∨ k ≥ -1

{k > -3

Quindi : [k ≥ -1]

-----------------------------------------------

{ k ≤ -5 ∨ k ≥ -1

{k <-3

Quindi: [k ≤ -5 ]

Ti do qualche input risolutivo:

α^2 + β^2 = 5 (ho indicato così le radici)

(α + β)^2 - 2·α·β = 5

(- b/a)^2 - 2·c/a = 5

(per la prima domanda)

1/α + 1/β = 4

(α + β)/(α·β) = 4

(- b/a)/(c/a) = 4----> - b/c = 4

ORRORE, DUE ESERCIZI NELLA STESSA DOMANDA!
Non l'hai ancora letto il
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
di questo sito, vero? Beh, leggilo: ti sarà molto utile!
Anche qualche dritta su come allegare foto decenti
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/99968/
ti potrebb'essere utile se sai ragionare e operare con intelligenza.
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PICCOLA SPIEGAZIONE
Per svolgere in modo semplice gli esercizi sulle equazioni parametriche di secondo grado.
Una generica equazione di secondo grado in x ha la forma normale canonica
* p(x) = a*x^2 + b*x + c = 0
Se almeno uno dei coefficienti {a, b, c} invece d'essere una costante numerica sia funzione di un parametro k allora l'intera equazione è parametrica e la sua soluzione (la/le sua/e radice/i) dipende dai valori del parametro.
Si danno due casi.
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1) Per i valori di k che rendono a(k) = 0 l'equazione cala di grado ed ha una sola radice
* 0*x^2 + b*x + c = 0 ≡ x = - c/b
se b != 0, altrimenti è impossibile o indeterminata secondo il valore di c.
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2) Per i valori di k che rendono a(k) != 0 l'equazione si riduce alla forma monica
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
dividendola membro a membro per p. In questa forma si hanno
* discriminante Δ(k) = s^2 − 4*p
* radici X = (s ± √Δ)/2, cioè (X1 = (s - √Δ)/2) oppure (X2 = (s + √Δ)/2)
tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto).
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* per Δ(k) < 0, X1 e X2 sono due radici distinte complesse coniugate
* per Δ(k) = 0, X1 = X2 = X è una radice doppia reale
* per Δ(k) > 0, X1 <= X2 sono due radici distinte reali
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Il segno del trinomio T(x) è ovunque positivo se non ha zeri reali, o, se ne ha,
* x < X1 ==> T(x) > 0
* X1 < x < X2 ==> T(x) < 0
* x > X2 ==> T(x) > 0
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SVOLGERE IN MODO SEMPLICE GLI ESERCIZI 593 e 599
In entrambi le richieste sono al plurale, quindi vale il caso 2
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
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593) T(x) = x^2 - 2*(k + 3)*x + 4 = 0
* s = 2*(k + 3)
* p = 4
* Δ(k) = s^2 − 4*p = 4*(k + 5)*(k + 1)
* X1 = (k + 3) - √((k + 5)*(k + 1))
* X2 = (k + 3) + √((k + 5)*(k + 1))
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a) reali e discordi ≡ p < 0 ≡ 4 < 0 ≡ impossibile
b) reali e positive ≡ X1 > 0 ≡ (k + 3) - √((k + 5)*(k + 1)) > 0 ≡ k >= - 1
c) reali e negative ≡ X2 < 0 ≡ (k + 3) + √((k + 5)*(k + 1)) < 0 ≡ k <= - 5
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599) p(x) = k*x^2 - 2*(k + 1)*x + (k + 2) = 0
* T(x) = x^2 - 2*(1 + 1/k)*x + (1 + 2/k) = 0 & k != 0
* s = 2*(1 + 1/k)
* p = (1 + 2/k)
* Δ(k) = s^2 − 4*p = (2/k)^2
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0) radici reali per ogni k ≡ Δ(k) >= 0 ≡ (2/k)^2 >= 0 ≡ Vero
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a) (X1)^2 + (X2)^2 = 5 ≡ ((s - √Δ)/2)^2 + ((s + √Δ)/2)^2 - 5 = 0 ≡
≡ (Δ + s^2 - 10)/2 = 0 ≡
≡ 2*p - s^2 + 5 = 0 ≡
≡ 2*(1 + 2/k) - (2*(1 + 1/k))^2 + 5 = 0 ≡
≡ (k + 2/3)*(k - 2) = 0 ≡
≡ (k = - 2/3) oppure (k = 2)
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b) 1/X1 + 1/X2 = 4 ≡ 2/(s - √Δ) + 2/(s + √Δ) - 4 = 0 ≡
≡ 4*s/(s^2 - Δ) - 4 = 0 ≡
≡ 4*s/(s^2 - (s^2 − 4*p)) - 4 = 0 ≡
≡ s/p - 4 = 0 ≡
≡ 2*(1 + 1/k)/(1 + 2/k) - 4 = 0 ≡
≡ - 2*(k + 3)/(k + 2) = 0 ≡
≡ k = - 3