Equazioni parametriche

(k - 2)·x^2 + 2·(2·k - 3)·x + (4·k + 2) = 0

equazione di 2° grado parametrica in k.

Deve essere quindi: k ≠ 2 altrimenti diverrebbe di ° grado.

Ammette due soluzioni reali e distinte se:

Δ/4 > 0

Quindi se:

(2·k - 3)^2 - (k - 2)·(4·k + 2) > 0------> 13 - 6·k > 0----> k < 13/6 con k ≠ 2

reali e coincidenti per k=13/6

L'equazione
* p(k) = (k - 2)*x^2 + 2*(2*k - 3)*x + (4*k + 2) = 0
ha parametrici tutt'e tre i coefficienti, quindi lo svolgimento della sua risoluzione consiste nell'evidenziare le forme assunte nei tre casi particolari e in quello generale ciascuno con le relative radici.
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1) 4*k + 2 = 0 ≡ k = - 1/2
* p(- 1/2) = C*(x + 16/5)*x = 0 ≡ (x = - 16/5) oppure (x = 0)
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2) 2*k - 3 = 0 ≡ k = 3/2
* p(3/2) = C*(x^2 - 16) = 0 ≡ (x = - 4) oppure (x = 4)
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3) k - 2 = 0 ≡ k = 2
* p(2) = C*(x + 5) = 0 ≡ (x = - 5)
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4) k != 2 è il caso generale
* (x^2 + ((4*k - 6)/(k - 2))*x + (4*k + 2)/(k - 2) = 0) & (k != 2) ≡
≡ X1(k) = (3 - 2*k)/(k - 2) - √(13 - 6*k)/(k - 2)
oppure
≡ X2(k) = (3 - 2*k)/(k - 2) + √(13 - 6*k)/(k - 2)
con radici parametriche (X1, X2) che risultano:
4a) per (k < 2) oppure (2 < k < 13/6), reali e distinte
4b) per k = 13/6, reali e coincidenti
4c) per k > 13/6, complesse coniugate
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DETTAGLI
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In generale, il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X = (s ± √Δ)/2
cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto).
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
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L'equazione T(x) = 0 ha radici X1 e X2 distinte se il discriminante Δ è non nullo: X1 e X2 complesse coniugate se Δ < 0, reali se Δ > 0.
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Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 sulle radici si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in un'equazione in k.