[Risolto] Equazioni logaritmiche

Insieme di definizione (per "="): nessun denominatore zero, nessun argomento zero.
* x non in {0, 3, 4, 5}
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Insieme di definizione reale (per "<"): nessun denominatore zero, ogni argomento positivo.
* (x != 5) & (x > 0) & (x > 3) & (x > 4) ≡
≡ (4 < x < 5) oppure (x > 5)
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* ln(x - 3)*ln(x)/ln(x - 4) <= 0 ≡
≡ (ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) <= 0) & (x != 5) ≡
≡ ((ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) = 0) oppure (ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) < 0)) & (x != 5) ≡
≡ (ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) = 0) & (x != 5) oppure (ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) < 0) & (x != 5)
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* (ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) = 0) & (x != 5) ≡
≡ (ln(x - 3) = 0 oppure ln(x) = 0 oppure ln(x - 4) = 0) & (x non in {0, 3, 4, 5}) ≡
≡ ((x = 4) oppure (x = 1) oppure (x = 5)) & (x non in {0, 3, 4, 5}) ≡
≡ x = 1
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* (ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) < 0) & (x != 5) ≡
≡ (ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) < 0) & ((4 < x < 5) oppure (x > 5))
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Per decidere
* p(x) = ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) < 0
servono i segni dei tre fattori (p(x) è negativo solo se lo sono un numero dispari di fattori e nessuno è zero)
* ln(x - 3) < 0 ≡ 3 < x < 4; ln(x - 3) > 0 ≡ x > 4
* ln(x) < 0 ≡ 0 < x < 1; ln(x) > 0 ≡ x > 1
* ln(x - 4) < 0 ≡ 4 < x < 5; ln(x - 4) > 0 ≡ x > 5
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Tre fattori negativi
* (3 < x < 4) & (0 < x < 1) & (4 < x < 5) ≡ insieme vuoto
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Un fattore negativo
* (3 < x < 4) & (x > 1) & (x > 5) ≡ insieme vuoto
* (x > 4) & (0 < x < 1) & (x > 5) ≡ insieme vuoto
* (x > 4) & (x > 1) & (4 < x < 5) ≡ 4 < x < 5
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* p(x) = ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) < 0 ≡ 4 < x < 5
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* (ln(x - 3)*ln(x)*ln(x - 4) < 0) & ((4 < x < 5) oppure (x > 5)) ≡
≡ (4 < x < 5) & ((4 < x < 5) oppure (x > 5)) ≡
≡ (4 < x < 5) & (4 < x < 5) oppure (4 < x < 5) & (x > 5) ≡
≡ (4 < x < 5) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ 4 < x < 5
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CONCLUSIONI
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1) ln(x - 3)*ln(x)/ln(x - 4) <= 0 ≡
≡ (x = 1) oppure (4 < x < 5)
Vedi i paragrafi "Solution" e "Integer solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=ln%28x-3%29*ln%28x%29%2Fln%28x-4%29%3C%3D0
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2) IL RISULTATO ATTESO E' ERRATO per incompletezza d'analisi, pusillanimità, e applicazione precoce delle condizioni di realtà (dovute per la diseguaglianza, ma vietate per l'eguaglianza).

Si tratta in realtà di una disequazione

C.E.

x - 3 > 0

x > 0

x - 4 > 0

x =/= 5 per non annullare il denominatore

x > 4 & x =/= 5

log (x - a) > 0 se x - a > 1 => x > a + 1

quindi per x > 4 i due fattori al numeratore sono entrambi positivi.

Per essere tutta la frazione negativa dovrà quindi risultare D < 0

log (x - 4) < 0

x - 4 < 1

x < 4 + 1

x < 5 & x > 4

S : 4 < x < 5