[Risolto] equazioni letterali frazionarie di secondo grado

(a + 2)/[x(x-1) + a(x-1)] + 1/(x - 1) = 2

(a + 2)/((x-1)(x+a)) + 1/(x-1) = 2

C.E. x - 1 =/= 0 e x + a =/= 0

x =/= 1 & x =/= -a

(a + 2) + x + a = 2(x - 1)(x + a)

x + 2a + 2 = 2(x^2 + ax - x - a)

2x^2 + 2ax - 2x - 2a - x - 2a - 2 = 0

2x^2 - (3 - 2a) x - 4a - 2 = 0

2 x^2 - (3 - 2a) x - 2(2a + 1) = 0

D = (2a - 3)^2 + 4*4(2a + 1) =

= 4a^2 - 12a + 9 + 32a + 16 =

= 4a^2 + 20a + 25 = (2a + 5)^2

x1,2 = [(3 - 2a) +- (2a + 5)]/4

x1 = (3 - 2a - 2a - 5)/4 = (-2 - 4a)/4 = -a - 1/2

x2 = (3 - 2a + 2a + 5)/4 = 8/4 = 2

Passiamo alla discussione

x =/= 1 significa - a - 1/2 =/= 1 => a =/= -3/2

x =/= -a significa -a =/= 2 e -a - 1/2 =/= - a => sempre verificata

Per i valori a = -3/2 e a =-2 conviene, per chiarirsi le idee,

operare per ispezione diretta.

Se a = -2

con x =/= 1 e x =/= 2

1/(x - 1) = 2

x- 1 = 1/2

x = 3/2 l'equazione ha solo questa soluzione.

Infatti l'altra non é accettabile e 3/2 é proprio -a - 1/2 = 2 - 1/2

Se a = -3/2 invece

1/2 * 1/[(x - 1)(x - 3/2)] + 1/(x - 1) = 2

1/[(x-1)(2x-3)] + 1/(x - 1) = 2

1 + 2x - 3 = 2(2x^2 + x - 3)

2x - 2 = 2x^2 + x - 3

2x^2 - x - 1 = 0

2x^2 - 2x + x - 1 = 0

2x(x-1) + 1(x - 1) = 0

(x - 1)(2x + 1) = 0

x = 1 inaccettabile

x = -1/2, accettabile perché diversa da 1 e da -a che é 3/2

Il tuo titolo non è proprio la mamma delle buone descrizioni.
Se dici "equazioni" è superfluo aggiungere "letterali": non esistono equazioni numeriche! Ogni equazione ha almeno una lettera che rappresenta la variabile da far variare fino a che non soddisfaccia all'equazione, se ciò è possibile. Se ci sono ulteriori lettere esse rappresentano altre variabili da intendere, secondo convenzioni, o come variabili alla pari della principale o come parametri.
Se dici "equazioni frazionarie" è errato aggiungere "di n-mo grado": il grado è attributo esclusivo delle equazioni razionali intere.
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L'equazione
* (a + 2)/(x^2 - x + a*x - a) + 1/(x - 1) = 2
sarebbe dovuta essere intitolata «equazione in x razionale fratta, parametrica in a».
In quanto equazione fratta essa è definita se e solo se nessun denominatore si annulla, cioè
* (x^2 - x + a*x - a != 0) & (x - 1 != 0) ≡
≡ ((x - 1)*(x + a) != 0) & (x != 1) ≡
≡ x ∉ {- a, 1}
con tale clausola restrittiva valgono le seguenti equivalenze
* ((a + 2)/(x^2 - x + a*x - a) + 1/(x - 1) = 2) & (x ∉ {- a, 1}) ≡
≡ ((a + 2)/(x^2 - x + a*x - a) + 1/(x - 1) - 2 = 0) & (x ∉ {- a, 1}) ≡
≡ (- (x - 2)*(2*x + 2*a + 1)*(x - 1)*(x + a) = 0) & (x ∉ {- a, 1}) ≡
≡ ((x = 2) ∨ (x = - a - 1/2) ∨ (x = 1) ∨ (x = - a)) & (x ∉ {- a, 1}) ≡
≡ ((x = 2) ∨ (x = - a - 1/2)) & (x ∉ {- a, 1}) ≡
≡ (x = 2) & (x ∉ {- a, 1}) ∨ (x = - a - 1/2) & (x ∉ {- a, 1}) ≡
≡ (x = 2) ∨ (x = - a - 1/2) & (- a != - a - 1/2) & (1 != - a - 1/2) ≡
≡ (x = 2) ∨ (x = - a - 1/2) & (∀ a ∈ R) & (a != - 3/2) ≡
≡ (x = 2) ∨ (x = - a - 1/2) & (a != - 3/2)
CONTROPROVA nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28a--2%29%2F%28x%5E2-x--a*x-a%29--1%2F%28x-1%29%3D2