Considera un quadrato $A B C D$, il cui lato misura $4 a$ e traccia la semicirconferenza di diametro $A B$, esterna al quadrato. Prendi su tale semicirconferenza un punto $P e$, detta $H$ la proiezione di $P$ su $A B$, poni $\overline{H B}=x$. Determina $x$ in modo che risulti: $\overline{P A}^2+\overline{P B}^2+\overline{P C}^2+\overline{P D}^2=80 a^2$.
$$
[x=(2-\sqrt{3}) a \vee x=(2+\sqrt{3}) a]
$$
69
punti
Livello 1
Essendo APB rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza risulta
PA^2 + PB^2 = AB^2 = (4a)^2 = 16 a^2
Per il secondo teorema di Euclide PH^2 = AH*HB = (4a - x) x = 4ax - x^2
Risulta inoltre
PC^2 = (4a + PH)^2 + x^2
PD^2 = (4a + PH)^2 + (4a - x)^2
per cui la risolvente si scrive, con 0 <=x <= 4a,
16a^2 + 2(4a + PH)^2 + x^2 + (4a - x)^2 + 16a^2 = 80a^2
2(16a^2 + 8aPH + PH^2) + x^2 + x^2 + 16a^2 + 16a^2 - 8ax - 80a^2 = 0
32 a^2 + 16 a PH + 2 PH^2 + 32 a^2 + 2x^2 - 8ax - 80a^2 = 0
16 a PH + 2 PH^2 + 2x^2 - 8ax = 16a^2
x^2 + PH^2 + 8a PH - 4ax = 8a^2
x^2 + 4ax - x^a + 8a rad(x(4a-x)) -4ax - 8a^2 = 0
8a rad (x(4a - x)) = 8a^2
dividendo per 8a
rad(x(4a-x)) = a
4ax - x^2 = a^2
x^2 - 4ax + a^2 = 0
x = 2a +- rad(4a^2 - a^2) = 2a +- a rad(3) = a(2+- rad(3)).
47892
punti
Livello 7
@eidosm mi può spiegare gentilmente come determina PC^2 e PD^2?
Guardando la figura e applicando il teoremadi Pitagora ad opportuni triangoli rettangoli laterali.
