equazioni irrazionali

√(x^4-3x^2-4) = x^2-3

si elevano al quadrato ambo i m..bri 😉

(x^4-3x^2-4) = x^4+9-6x^2

3x^2 = 13

x = ±√(13/3) (due ed un tantino😎)

3 - x^2 + √(x^4 - 3·x^2 - 4) = 0

√(x^4 - 3·x^2 - 4) = x^2 - 3

eleviamo.....

x^4 - 3·x^2 - 4 = (x^2 - 3)^2

x^4 - 3·x^2 - 4 = x^4 - 6·x^2 + 9

3·x^2 - 13 = 0

x = - √39/3 ∨ x = √39/3

Verifichiamo che non ci siano radici estranee (qui è sufficiente una verifica perché bisogna elevare la x ad esponenti pari)

VERIFICA con x=√39/3

3 - (√39/3)^2 + √((√39/3)^4 - 3·(√39/3)^2 - 4) = 0

3 - 13/3 + √(169/9 - 13 - 4) = 0

3 - 13/3 + √(16/9) = 0

3 - 13/3 + 4/3 = 0

0 = 0

Non ci sono radici estranee.

Con la variabile fittizia
* u = x^2
si ha
* x = ± √u
per ciascuna radice u dell'equazione trasformata
* 3 - x^2 + √(x^4 - 3*x^2 - 4) = 0 ≡
≡ 3 - u + √(u^2 - 3*u - 4) = 0 ≡
≡ √(u^2 - 3*u - 4) = u - 3 ≡
≡ (u^2 - 3*u - 4) = (u - 3)^2 ≡
≡ (u^2 - 3*u - 4) - (u - 3)^2 = 0 ≡
≡ 3*u - 13 = 0 ≡
≡ u = 13/3
da cui
* x = ± √u = ± √(13/3) ~= ± 2.082
CONTROPROVA nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3-x%5E2%2B%E2%88%9A%28x%5E4-3*x%5E2-4%29%3D0