[Risolto] Equazioni irrazionali

(a - 2)·x^2 - (3 - a)·x + 4 = 0

con a - 2 ≠ 0----> a ≠ 2

Condizione sulla realtà delle radici α e β

Δ ≥ 0

(3 - a)^2 - 16·(a - 2) ≥ 0

a^2 - 22·a + 41 ≥ 0

risolvo:

a ≤ 11 - 4·√5 ∨ a ≥ 4·√5 + 11

Si vuole:

α^2 + β^2 > 1

(α + β)^2 - 2·α·β > 1

{α + β = (3 - a)/(a - 2)

{α·β = 4/(a - 2)

((3 - a)/(a - 2))^2 - 2·4/(a - 2) > 1

((3 - a)/(a - 2))^2 - 2·4/(a - 2) - 1 > 0

(21 - 10·a)/(a - 2)^2 > 0

21 - 10·a > 0----> a < 21/10

Quindi tenendo conto delle condizioni poste:

{a ≠ 2

{a ≤ 11 - 4·√5 ∨ a ≥ 4·√5 + 11

{a < 21/10

si ottiene: 

[a ≠ 2 ∧ a ≤ 11 - 4·√5]

L'equazione
* (a - 2)*x^2 - (3 - a)*x + 4 = 0
non è affatto irrazionale come detto nel titolo, ma è razionale intera di grado due come detto nel testo.
Per a = 2 ha l'unica radice x = - 4, quindi non può soddisfare al vincolo (x1)^2 + (x2)^2 > 1 che di radici ne vuole due; pertanto si deve avere a != 2.
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Per a != 2 l'equazione equivale alla forma monica
* x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
con
* s = (3 - a)/(a - 2)
* p = 4/(a - 2)
* Δ = s^2 − 4*p
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
* X2 - X1 = √Δ = d (differenza)
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
* X1/X2 = (s - √Δ)^2/(s^2 - Δ) (rapporto)
* (X1)^2 + (X2)^2 = s^2 − 2*p (somma dei quadrati)
* (X1)^3 + (X2)^3 = s*(s^2 - 3*p) (somma dei cubi)
* 1/X1 + 1/X2 = s/p (somma degl'inversi)
* 1/(X1 * X2) = 1/p (prodotto degl'inversi)
* 1/(X1)^2 + 1/(X2)^2 = (s/p)^2 - 2/p (somma dei quadrati degl'inversi)
Vedi al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/188982/
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Il vincolo imposto si risolve per sostituzione
* (x1)^2 + (x2)^2 > 1 ≡
≡ s^2 − 2*p > 1 ≡
≡ ((3 - a)/(a - 2))^2 − 2*4/(a - 2) > 1 ≡
≡ (a^2 - 14*a + 25)/(a - 2)^2 > 1 ≡
≡ a^2 - 14*a + 24 > 0 ≡
≡ (a - 2)*(a - 12) > 0 ≡
≡ (a < 2) oppure (a > 12)