[Risolto] Equazioni in modulo

Brava! Sì, è proprio come hai intuito tu: si tratta di qualche proprietà, e sono proprietà semplicissime e facili da memorizzare.
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A) PROPRIETA'
I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre.
Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
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A1) Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
A1a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [&: intersezione]
A1b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) | (a = + b) [|: unione]
A1c) |a| >= b ≡ (a <= - b) | (b <= a) [|: unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
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A2) Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}. Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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B) ESERCIZIO #34 (per essere più leggibile scrivo "oppure" invece di "|")
* 2 + x - |2 + x| = 0
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B1) Isolare il |modulo| a primo membro aggiungendo |2 + x| membro a membro e commutando i membri.
* 2 + x - |2 + x| = 0 ≡ |2 + x| = 2 + x
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B2) Riconoscere la forma A1b e applicare la relativa proprietà di sdoppiamento.
* |2 + x| = (2 + x) ≡
≡ (2 + x = ± (2 + x)) ≡
≡ (2 + x = - (2 + x)) oppure (2 + x = + (2 + x))
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B3) Risolvere separatamente i termini dell'unione.
B3a) 2 + x = - (2 + x) ≡ x = - 2
B3b) 2 + x = + (2 + x) ≡ VERO per ogni x [è un'identità, non un'equazione]
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B4) Presentare il risultato.
* 2 + x - |2 + x| = 0 ≡
≡ x >= - 2

La strategia consiste nello studiare per prima cosa il segno del valore assoluto, così facendo ottieni due intervalli, nello specifico, un intervallo a destra del valore -2 in cui i segni dei termini all'interno del modulo rimangono invariati, e un intervallo a sinistra del valore assoluto in cui i segni cambiano. Si studiano dunque due equazioni diverse, i cui risultati vanno poi confrontati con l'intervallo in cui si sta lavorando 

Dunque il primo sistema è verificato per le x maggiori uguali di -2. Nel secondo intervallo si ha:

Il secondo sistema non ammette soluzioni dunque la soluzione finale dell'equazione è data esclusivamente dalle soluzioni trovate studiando il primo intervallo.