[Risolto] Equazioni goniometriche riassuntive.

► C.E. sin x ≠ 0  ⇒  x ≠ kπ 

► Soluzione.

$ 1 - \frac {cos x}{sin x} = \frac {1}{sin x}$

$ sin x - cos x = 1$

$ sin x - cos x - 1$   Equazione lineare in seno e coseno. Useremo il metodo dall'angolo aggiunto.

Faremo riferimento alla forma asin x + bcos x + c = 0. Definiamo

⊳ $ \frac {a}{\sqrt{a^2+b^2}} := cosφ  \; ⇒ \; cosφ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

⊳ $ \frac {b}{\sqrt{a^2+b^2}} := sinφ \; ⇒ \; sinφ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

dalle precedenti segue che l'angolo $ φ = -\frac{\pi}{4}$

Calcoliamo il termine noto = $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Nel nostro caso il termine noto sarà $\frac{-1}{\sqrt{a^2+b^2}}$

L'equazione diventa

$ sin \left (x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

due soluzioni

1. $ x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \; ⇒ \; x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi;$
2. $ x-\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \; ⇒ \; x = \pi + 2k\pi;$ Impossibile (vedi C.E.)

$\qquad k \in \mathbb{Z} $