[Risolto] Equazioni goniometriche riassuntive.

$ sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2}) = sin^2 (\frac{x}{3}) + cos^2 (\frac{x}{3}) $

$ sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2}) = 1 $

Equazione lineare in seno coseno, risolviamola con il metodo di sostituzioni. Poniamo

$ X = cos (\frac{x}{2}) \; \land \; Y = sin (\frac{x}{2}) $

Risolviamo il sistema associato

$ \left \{\begin{aligned} X+Y &= 1 \\ X^2+Y^2 &= 1 \end{aligned} \right. $

Le cui due soluzioni sono:

1. $X = 1 \, \land \, Y = 0 \; ⇒ \; cos (\frac{x}{2}) = 1 \, \land \, sin (\frac{x}{2}) = 0 \; ⇒ \; \frac{x}{2} = 2k\pi \; ⇒ \; x = 4k\pi; $
2. $X = 0 \, \land \, Y = 1 \, ⇒ \, cos \frac{x}{2} = 0 \, \land \, sin \frac{x}{2} = 1 \, ⇒ \, \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \, ⇒ \, x = \pi + 4k\pi; $ 

$ k \in \mathbb{Z} $

Il testo riporta una risposta diversa (+ 2kπ), ho verificato con Wolfram la soluzione corretta è con + 4kπ.