[Risolto] Equazioni goniometriche riassuntive.

$ sin(x+α) = sin x cos α + cos x sin α$

$ sin(x-α) = sin x cos α - cos x sin α$          per cui

$ sin(x+α) + sin (x-α) = 2 sin x cos α $

L'equazione data può essere riscritta come

$ 2 sin x cos α = 2 cos^2 α $

$ cos α (sin x - cos α) = 0 $

Per il principio dell'annullamento del prodotto

1. Se cos α = 0 cioè $α = \frac{\pi}{2}+k\pi$ allora è sempre verificata. Cioè è vera per ogni x∈ℝ.
2. Se $α \ne \frac{\pi}{2}+k\pi$ allora si ha

$ sin x = cos α$

Applichiamo l'arcoseno ad ambo i membri

$ x = arcsin(cos α) + 2k\pi$ (§)

dall'identità

$ arccos t + arcsin t = \frac{\pi}{2} \quad \text {Vera $\forall t \in [-1, 1]$} $

ricaviamo

$arcsin t = \frac{\pi}{2} - arccos t$

dalla quale discende

$ arcsin(cos t) = \frac{\pi}{2} \pm t$

Ritornando al punto (§)

$ x = \frac{\pi}{2} \pm α + 2k\pi; $

Conclusione.

• Se $α = \frac{\pi}{2}+k\pi$  allora $\forall x \in \mathbb{R}$
• Se $α \ne \frac{\pi}{2}+k\pi$  allora $ x = \frac{\pi}{2} \pm α + 2k\pi; \quad k \in \mathbb{Z} $

SIN(x + α) + SIN(x - α) = 2·COS(α)^2

SIN(x)·COS(α) + SIN(α)·COS(x) + SIN(x)·COS(α) - SIN(α)·COS(x) = 2·COS(α)^2

2·COS(α)·SIN(x) = 2·COS(α)^2

2·COS(α)·(SIN(x) - COS(α)) = 0

Se si annulla per:

α = pi/2 + k·pi  ogni x va bene: R

Se α ≠ pi/2 + k·pi

deve essere: SIN(x) = COS(α)

x = (pi/2 ± α) + 2·k·pi