Equazioni goniometriche con valori assoluti.

$ |cos x| = 1+sin x$

Eliminiamo il segno del valore assoluto

$ 1 + sin x = \pm cos x$

Soliti due casi

1. Caso -) $cos x+sin x+1 = 0 \; ⇒ \; x = \pi + 2k\pi \; \lor \; x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi;$
2. Caso +) $ cos x -sin x -1 = 0 \; ⇒ \; x = 2k\pi \; \lor \; x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \qquad k\in \mathbb{Z}$

nota. I due casi hanno una soluzione in comune.

A titolo di esempio risolvo una delle due equazioni lineari in seno, coseno. Vi sono vari metodi per affrontare il problema. Uso il metodo di sostituzione. In futuro userò gli altri.

Risolviamo $ cos x - sin x -1 = 0$

Pongo 

• X = cos x
• Y = sin y

l'equazione si trasforma in 

$ X - Y = 1 $

A questa equazione associamo l'equazione della circonferenza espressa con le nuove variabili, cioè $X^2+Y^2 = 1$

Risolviamo il sistema

$ \begin{cases} X-Y = 1\\ X^2+Y^2 = 1 \end{cases} $

Le cui soluzioni sono:

• X = cosx = 1 ∧ Y = sinx = 0; dalla quale si ricava la soluzione  x = 2kπ
• X = cos x = 0 ∧ Y = sinx = -1; dalla quale si ricava la soluzione  x = -π/2 + 2kπ

Analogamente puoi procedere per risolvere $cos x+sin x+1 = 0 $