Equazioni goniometriche

1. Trasformiamo il secondo membro:

Ricordiamo che la funzione tangente è dispari, quindi -tan(x) = tan(-x). Inoltre, la tangente ha un periodo di π, il che significa che tan(x + π) = tan(x). Possiamo usare queste proprietà per trasformare il secondo membro dell'equazione:

-tan(x - π/3) = tan(-x + π/3) = tan(-x + π/3 + π) = tan(-x + 4π/3)

2. Scriviamo l'equazione con la nuova forma:

L'equazione diventa:

tan2x = tan(-x + 4π/3)

3. Risolviamo l'equazione:

Poiché la funzione tangente ha un periodo di π, due angoli hanno la stessa tangente se differiscono per un multiplo intero di π. Quindi, possiamo scrivere:

2x = -x + 4π/3 + kπ, dove k è un intero

4. Isoliamo x:

Sommiamo x a entrambi i membri:

3x = 4π/3 + kπ

Dividiamo entrambi i membri per 3:

x = 4π/9 + kπ/3

5. Soluzione generale:

La soluzione generale dell'equazione è:

x = 4π/9 + kπ/3, dove k è un intero

6. Soluzioni nell'intervallo [0, 2π):

Per trovare le soluzioni nell'intervallo [0, 2π), possiamo assegnare valori interi a k:

* k = 0: x = 4π/9

* k = 1: x = 7π/9

* k = 2: x = 10π/9

* k = 3: x = 13π/9

* k = 4: x = 16π/9