Equazioni goniometriche

$ \sqrt{3} sin x + \sqrt{2} = cos x $      quadriamo

$ 3 sin^2 x + 2\sqrt{6} sin x + 2 = cos^2 x $

$ 3 sin^2 x + 2\sqrt{6} sin x + 2 = 1-sin^2 x $

$ 4sin^2 x + 2\sqrt{6} sin x + 1 = 0 $

Poniamo t = sin x

$ 4t^2 + 2\sqrt{6}t + 1 = 0 $      equazione di secondo grado. Le soluzioni sono

1. $ t = -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \; ⇒ \; sin x = -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
2. $ t = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \; ⇒ \; sin x = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

dalle quali ricaviamo le x

1. $x = arcsin (-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}) + 2k\pi \; \lor \; \pi - arcsin (-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}) + 2k\pi$
2. $x = arcsin (\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}) + 2k\pi \; \lor \; \pi - arcsin (\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}) + 2k\pi $

$ k \in \mathbb{Z} $