Buongiorno,mi trovo in difficoltà con questo esercizio di matematica:
Per quali valori del parametro reale k l'equazione
sin x+cos x=k ammette soluzioni in R? Come cambia
la risposta considerando sin x cos x =k ?
Grazie mille in anticipo
Buongiorno,mi trovo in difficoltà con questo esercizio di matematica:
Per quali valori del parametro reale k l'equazione
sin x+cos x=k ammette soluzioni in R? Come cambia
la risposta considerando sin x cos x =k ?
Grazie mille in anticipo
Ciao.
Domanda: "Per quali valori del parametro reale k l'equazione
sin x+cos x=k ammette soluzioni in R?
Risposta: conviene scrivere il primo membro come y = √2·SIN(pi/4 + x)
per cui il confronto lo fai sulle ampiezze di una funzione trigonometrica cioè su
y=+/- √2 ed il valore di k
Quindi la risposta è: ammette soluzioni se - √2 ≤ k ≤ √2
Domanda: "Per quali valori del parametro reale k l'equazione
sin x*cos x=k ammette soluzioni in R?
Risposta: conviene scrivere il primo membro come y = SIN(2·x)/2 per cui l'ampiezza della funzione si riduce della metà
Quindi: ammette soluzioni se - 1/2 ≤ k ≤ 1/2
Di nuovo. se forse non conosci il procedimento per determinare la combinazione delle funzioni trigonometriche seno e coseno, sarà il caso di spiegartelo.
Senza dilungarmi in tante parole riporto i vari passaggi, sperando che tu li capisca.
y = a·SIN(x) + b·COS(x) equivale a scrivere: y = Ω·SIN(x + φ)
Vediamo ora cosa assumere per l'ampiezza della sinusoide Ω e per la fase φ
Ω·SIN(x + φ) = Ω·SIN(φ)·COS(x) + Ω·COS(φ)·SIN(x)
Quindi per confronto:
{Ω·SIN(φ) = b
{Ω·COS(φ) = a
Dividendo le due equazioni: TAN(φ) = b/a---------> ottieni φ
Una volta ottenuta la fase trovi l'ampiezza:
Ω = b/SIN(φ) per verifica: Ω = a/COS(φ)
Nel tuo caso a=b=1------->TAN(φ) = 1------> φ = pi/4
Ω = 1/SIN(pi/4)-------->Ω = √2
per verifica:
Ω = 1/COS(pi/4)----->Ω = √2