[Risolto] valori del parametro k l'equazione goniometrica ammette soluzioni

@georgiana

Ciao. 

Domanda: "Per quali valori del parametro reale k l'equazione

sin x+cos x=k ammette soluzioni in R?

Risposta: conviene scrivere il primo membro come y = √2·SIN(pi/4 + x)

per cui il confronto lo fai sulle ampiezze di una funzione trigonometrica cioè su 

y=+/- √2 ed il valore di k

Quindi la risposta è: ammette soluzioni se - √2 ≤ k ≤ √2

Domanda: "Per quali valori del parametro reale k l'equazione

sin x*cos x=k ammette soluzioni in R?

Risposta: conviene scrivere il primo membro come y = SIN(2·x)/2 per cui l'ampiezza della funzione si riduce della metà

Quindi: ammette soluzioni se - 1/2 ≤ k ≤ 1/2

@georgiana

Di nuovo. se forse non conosci il procedimento per determinare la combinazione delle funzioni trigonometriche seno e coseno, sarà il caso di spiegartelo.

Senza dilungarmi in tante parole riporto i vari passaggi, sperando che tu li capisca.

y = a·SIN(x) + b·COS(x)  equivale a scrivere: y = Ω·SIN(x + φ)

Vediamo ora cosa assumere per l'ampiezza della sinusoide Ω e per la fase φ

Ω·SIN(x + φ) = Ω·SIN(φ)·COS(x) + Ω·COS(φ)·SIN(x)

Quindi per confronto:

{Ω·SIN(φ) = b

{Ω·COS(φ) = a

Dividendo le due equazioni: TAN(φ) = b/a---------> ottieni φ

Una volta ottenuta la fase trovi l'ampiezza:

Ω = b/SIN(φ) per verifica: Ω = a/COS(φ)

Nel tuo caso a=b=1------->TAN(φ) = 1------> φ = pi/4

Ω = 1/SIN(pi/4)-------->Ω = √2

per verifica:

Ω = 1/COS(pi/4)----->Ω = √2