Equazioni goniometriche

sin (pi/4 + x) - cos (x - pi/4) > -1

sin pi/4 cos x + cos pi/4 sin x - cos pi/4 cos x - sin pi/4 sin x > -1

tenuto conto che sin pi/4 = cos pi/4 = rad(2)/2

cos x + sin x - cos x - sin x > - rad(2)

0 > - rad(2) é sempre verificata

confermato da Wolfram.

Veniamo al tuo dubbio specifico

https://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

il segno meno davanti dà luogo a due segni meno sugli ultimi due addendi.

Ulteriore osservazione ( da leggere solo se hai le idee chiare sugli archi associati )

sin ( pi/4 + x) - cos (x - pi/4) =

= sin (pi/4 + x) - sin [ pi/2 - (x - pi/4 ) ] =     archi complementari

= sin (pi/4 + x) - sin (3/4 pi - x) =

qui pensavo di applicare prostaferesi ma più semplicemente

= sin (pi/4 + x) - sin (pi - (3/4 pi - x) )         archi supplementari

= sin (pi/4 + x) - sin (pi/4 + x) = 0

Dovrebbe bastare muoversi con calma e a piccoli passi (però, a guardarla, parrebbe vera ovunque!).
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Prima semplificare: con
* u = π/4
si ha
* sin(π/4 + x) - cos(x - π/4) > - 1 ≡
≡ sin(u + x) - cos(x - u) > - 1 ≡
≡ (cos(x)*sin(u) + cos(u)*sin(x)) - (cos(u)*cos(x) + sin(u)*sin(x)) > - 1 ≡
≡ cos(x)*sin(u) + cos(u)*sin(x) - cos(u)*cos(x) - sin(u)*sin(x) > - 1 ≡
≡ cos(x)*sin(u) - cos(u)*cos(x) + cos(u)*sin(x) - sin(u)*sin(x) > - 1 ≡
≡ (sin(u) - cos(u))*cos(x) + (cos(u) - sin(u))*sin(x) > - 1 ≡
≡ (sin(u) - cos(u))*cos(x) - (sin(u) - cos(u))*sin(x) > - 1 ≡
≡ (sin(u) - cos(u)) - (cos(x) - sin(x)) > - 1 ≡
≡ (sin(π/4) - cos(π/4)) - (cos(x) - sin(x)) > - 1 ≡
≡ 0 - (cos(x) - sin(x)) > - 1 ≡
≡ cos(x) - sin(x) < 1
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Poi verificare la correttezza della semplificazione.
Periodo di "sin(π/4 + x) - cos(x - π/4)" = 2*π
Periodo di "cos(x) - sin(x)" = 2*π
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify+sin%28%CF%80%2F4--x%29-cos%28x-%CF%80%2F4%29%3Dsin%28x%29-cos%28x%29
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Infine risolvere la forma semplificata entro il primo periodo: con
* u = π/4 - x
si ha
* 0 <= x < 2*π ≡ 0 <= π/4 - u < 2*π ≡ - 7*π/4 < u <= π/4
* (cos(x) - sin(x) < 1) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ ((√2)*sin(π/4 - x) < 1) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (sin(u) < 1/√2) & (- 7*π/4 < u <= π/4) ≡
≡ - 5*π/4 < u < π/4 ≡
≡ - 5*π/4 < π/4 - x < π/4 ≡
≡ 0 < x < 3*π/2
PAREVA MALE: le manca un quarto di giro.
SE&O