Equazioni goniometriche

@lavpec

Ciao di nuovo.

COS(x - pi/6) + COS(x - pi/3) + COS(2·x) = 0

Sviluppiamo a parte i 3 addendi:

COS(x - pi/6) = COS(x)·COS(pi/6) + SIN(x)·SIN(pi/6) =COS(x)·(√3/2) + SIN(x)·(1/2)

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COS(x - pi/3) = COS(x)·COS(pi/3) + SIN(x)·SIN(pi/3) = COS(x)·(1/2) + SIN(x)·(√3/2)

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COS(2·x) = COS(x)^2 - SIN(x)^2

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Quindi:

COS(x)·(√3/2) + SIN(x)·(1/2) + COS(x)·(1/2) + SIN(x)·(√3/2) + (COS(x)^2 - SIN(x)^2) = 0

Se raccogliamo opportunamente in modo parziale:

(√3 + 1)·(COS(x) + SIN(x))/2 + (COS(x) + SIN(x))·(COS(x) - SIN(x)) = 0

(COS(x) + SIN(x))·((√3 + 1)/2 + (COS(x) - SIN(x))) = 0

abbiamo quindi 2 equazioni lineari in seno e coseno:

dal 1° fattore:

COS(x) = - SIN(x)

che porta alla soluzione:

x = - pi/4 + k·pi

L'altro fattore:

2·COS(x) - 2·SIN(x) + √3 + 1 = 0

che possiamo risolvere con il metodo grafico ponendo:

2·COS(α) - 2·SIN(α) + √3 + 1 = 0

cioè facendo riferimento al sistema:

{2·x - 2·y + √3 + 1 = 0

{x^2 + y^2 = 1

avendo fatto le posizioni:

{COS(α) = x

{SIN(α) = y

e quindi facendo riferimento alla circonferenza goniometrica.

Risolvendo si ottiene:

[x = - 1/2 ∧ y = √3/2, x = - √3/2 ∧ y = 1/2]

Quindi:

{COS(x) = - 1/2

{SIN(x) = √3/2

quindi: x = 2·pi/3+2kpi

{COS(x) = - √3/2

{SIN(x) = 1/2

quindi: x = 5·pi/6 +2kpi

Prova ad usare le formule di addizione e duplicazione 

cos x cos pi/6 + sin x sin pi/6 + cos x cos pi/3 + sin x sin pi/3 + 

+ cos^2(x) - sin^2(x) = 0

cos x ( rad(3/2) + 1/2 ) + sin x ( 1/2 + rad(3)/2 ) + 

+ cos^2(x) - sin^2(x) = 0

( rad(3)/2 + 1/2 ) ( cos x + sin x ) + ( cos x - sin x ) ( cos x + sin x ) = 0

( cos x + sin x ) ( cos x - sin x + rad(3)/2 + 1/2) = 0

si spezza in due equazioni lineari 

cos x + sin x = 0 =>   x = 3/4 pi + k pi 

sin x - cos x = rad(3)/2 + 1/2 

che puoi risolvere col metodo dell'angolo aggiunto. 

Moltiplicando a sinistra e a destra per rad(2)/2 ottieni 

rad(2)/2 sin x - rad(2)/2 cos x = rad(6)/4 + rad(2)/4 

che puoi rileggere come 

sin (x - pi/4) = sin (5 pi/12 ) 

e la spezzi in due equazioni elementari 

x - pi/4 = 5/12 pi + 2 k pi 

x - pi/4 = pi - 5/12 pi + 2 k pi 

Spero che basti.

LO CREDO BENE CHE "continua a non venirti", STAI SBAGLIANDO L'APPROCCIO.
Le equazioni goniometriche non si affrontano provando ripetutamente senza una strategia, ma procedendo metodicamente; ci si arma delle Tavole fondamentali (Archi Notevoli, Archi Associati, Identità Notevoli), si riconoscono le forme, si sostituisce, e si ricicla fino a trovare o un'equazione goniometrica elementare o un'equivalente equazione algebrica le cui radici consentono la scrittura di altrettante equazioni goniometriche elementari.
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A) Archi Notevoli (ne servono due)
A1) π/6: sin(π/6) = 1/2; cos(π/6) = √3/2.
A2) π/3: sin(π/3) = √3/2; cos(π/3) = 1/2.
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B) Archi Associati (non ne serve nessuno)
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C) Identità Notevoli (ne servono tre)
C1) cos(a - b) = sin(a)*sin(b) + cos(a)*cos(b)
C2) cos(2*a) = cos^2(a) - sin^2(a)
C3) a*sin(x) + b*cos(x) = c ≡
≡ (sin(x + k) = C) & (k = arctg(b/a)) & (C = c/√(a^2 + b^2))
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ESERCIZIO
* cos(x - π/6) + cos(x - π/3) + cos(2*x) = 0 ≡
≡ sin(x)*sin(π/6) + cos(x)*cos(π/6) + sin(x)*sin(π/3) + cos(x)*cos(π/3) + cos^2(x) - sin^2(x) = 0 ≡
≡ sin(x)/2 + (√3/2)*cos(x) + (√3/2)*sin(x) + cos(x)/2 + cos^2(x) - sin^2(x) = 0 ≡
≡ sin(x)/2 + (√3/2)*sin(x) + (√3/2)*cos(x) + cos(x)/2 + cos^2(x) - sin^2(x) = 0 ≡
≡ ((1 + √3)/2)*(sin(x) + cos(x)) + (cos(x) + sin(x))*(cos(x) - sin(x)) = 0 ≡
≡ (sin(x) + cos(x))*((1 + √3)/2 + cos(x) - sin(x)) = 0 ≡
≡ (sin(x) + cos(x) = 0) oppure ((1 + √3)/2 + cos(x) - sin(x) = 0) ≡
≡ (sin(x) + cos(x) = 0) oppure (sin(x) + cos(x) = (1 + √3)/2)
così l'equazione originale si spezza in due equazioni elementari del tipo C3 (angolo aggiunto).
Da qui in poi dovresti farcela da te: il metodo sistematico l'hai visto.