Il primo é semplice, il secondo ( per me ) difficilissimo. Provate.
a) Trovare una funzione f : R -> R e inveribile tale che f^(-1) [ x - f(x) ] = x ;
b) Trovare una funzione f reale ( e diversa dalla funzione identica ) tale che
f(f(f(x))) = x. Oppure dimostrare che non esiste.
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Livello 7
@eidosm Io non sono in grado, però ho fatto la domanda a copilot e Chat-GPT, se vuoi ti giro nei commenti la risposta delle 2 AI, che sono discordanti...
Copilot:
a) Una funzione che soddisfa la condizione data è f(x) = (x^2 + 1)/2. Per dimostrare che questa funzione è iniettiva e suriettiva, possiamo utilizzare il teorema del valore intermedio. Inoltre, la funzione è continua e derivabile, il che implica che la sua inversa esiste e ha le stesse proprietà.
b) Non esiste una funzione reale diversa dalla funzione identica che soddisfa l'equazione f(f(f(x))) = x. Questo può essere dimostrato per assurdo. Supponiamo che esista una funzione f che soddisfa l'equazione. Allora f è iniettiva, poiché se f(x) = f(y), allora applicando f a entrambi i lati dell'equazione otteniamo x = y. Inoltre, f è suriettiva, poiché per ogni x esiste un y tale che f(y) = x. Applicando f all'equazione f(f(f(x))) = x, otteniamo f(f(f(f(x)))) = f(x). Ma questo implica che f(f(x)) = x, il che contraddice l'ipotesi che f sia diversa dalla funzione identica. Quindi non esiste una funzione reale diversa dalla funzione identica che soddisfa l'equazione data.
Chat-GPT:
https://chat.openai.com/share/031fb40a-d38b-42d3-a20a-e1059f45fa83
@eidosm Di solito Chat-GPT spara cavolate
Il problema della risposta di co-pilot é che (x^2 + 1)/2 é una parabola per cui non é suriettiva ma soprattutto non é iniettiva. A meno di non mettere restrizioni sul dominio, su f^(-1) il calcolo si blocca.
@eidosm Grazie mille per il chiarimento, mi dispiace che la risposta sia sbagliata, chiedo venia
Io non ne capisco una cippa, però a te potrebb'essere utile meditare su
http://www.wolframalpha.com/input?i=f%28f%28f%28x%29%29%29%3Dx
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Genius I
@exprof Bravo, penso che il tuo "giocattolo" abbia risolto. Ho provato la f(x) = 1 - 1/x
e sembra andare bene. Infatti f(f(x)) = 1 - 1/((x-1)/x) = 1 - x/(x-1) = (x-1-x)/(x-1) =
= 1/(1-x) e f(f(f(x))) = 1 : (1 - 1 + 1/x) = 1 : 1/x = x per x =/= 0. Resta il problema di
COME l'ha trovata.
@EidosM
"Resta il problema di COME l'ha trovata." con opportuni metodi euristici.
Mi sono ingegnato un pochino a ridurre l'originale "non ne capisco una cippa" a "mi sto cominciando a informare" e ho trovato un paio di dispensine
la cui lettura mi dice che, in assenza di procedure sistematiche, non ho interesse a interessarmene.
Il mio interesse per la Matematica non è di ricerca, ma puramente didattico: mi dà soddisfazione mostrare agli alunni come applicare a casi concreti procedure studiate solo in teoria, nella speranza che uno su cento si ricordi del mio contributo al suo sviluppo intellettuale (sono stato professore di più di 1200 alunni, ma purtroppo Maestro di meno di una dozzina di Allievi).
Entrambe le dispense suggeriscono (sia pure in termini differenti) che la prima euristica da applicare è di controllare se funzioni "particolarmente semplici" verificano l'equazione.
Immagino che, dopo le costanti e le funzioni lineari, il passo successivo nella diminuzione di semplicità possano essere le funzioni omografiche; e questo dev'essere ciò che ha fatto l'algoritmo di WolframAlpha.
Tanti saluti.
@exprof Ok. Per non inseguire cose che non esistono, possiamo semplicemente supporre che il grande Wolfram si sia limitato a svolgere una identificazione parametrica su y = (x+a)/(x+b) e bon. Non cerco altro.
Aggiornamento. Ho fatto quello che ha fatto Wolfram e mi trovo : escono due soluzioni non banali omografiche.
Grazie.
