[Risolto] Equazioni esponenziali HELP

5^[(2x)/(x+2)] * 5^(4/x) = 3

2x/(x+2) +4/x = 3

Da cui si ricava la soluzione accettabile

x=2

5*5²=125

L'altra soluzione che verifica l'equazione è x= - 4)

CI SONO DUE RADICI REALI ENTRAMBE ACCETTABILI.
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L'espressione è definita per x ∉ {- 2, 0} e, avendosi 25 = 5^2 e 125 = 5^3, si ha
* f(x) = ((25^x)^(1/(x + 2)))*(5^4)^(1/x) = 125 ≡
≡ (((5^2)^x)^(1/(x + 2)))*(5^4)^(1/x) = 5^3 ≡
≡ (5^(2*x/(x + 2)))*5^(4/x) = 5^3 ≡
≡ 5^(2*x/(x + 2) + 4/x) = 5^3 ≡
≡ 2*x/(x + 2) + 4/x = 3 ≡
≡ 2*x/(x + 2) + 4/x - 3 = 0 ≡
≡ - (x + 4)*(x - 2)/(x*(x + 2)) = 0 ≡
≡ (x = - 4) oppure (x = 2)
VERIFICA
* f(- 4) = 125 OK
* f(2) = 125 OK
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DETTAGLI
* 25^(- 4) = 1/5^8
* (25^(- 4))^(1/(- 4 + 2)) = (1/5^8)^(- 1/2) = √(5^8) = 5^4
* (5^4)^(1/(- 4)) = 1/√(√(5^4)) = 1/√(5^2) = 1/5
* ((25^(- 4))^(1/(- 4 + 2)))*(5^4)^(1/(- 4)) = (5^4)*1/5 = 125