equazioni esponenziali

Ohi ohi ohi...errore grave...

$(3^x+1)^{-1}$ NON È UGUALE a $3^{-x}+1^{-1}$

una volta che hai 

$3^{5x}=\frac{1}{3^x+1}$ devi moltiplicare a destra e sinistra per $3^x+1$

ti viene

$(3^x+1)*3^{5x}=1$

ovvero

$3^{6x}+3^{5x}=1$

Adesso una cosa furba è sostituire $t=3^x$ in modo che ti venga:

$t^6+t^5-1=0$

Graficamente puoi vedere che ha due soluzioni reali, ma in quanto a trovarle non so quali metodi conosci e quindi te lo lascio.

Il fatto che le operazioni moltiplicative godano della proprietà distributiva su quelle additive
non t'autorizza minimamente a credere che valga il viceversa
* 1/(a + b) = 1/a + 1/b ≡ b = ((- 1 ± i*√3)/2)*a
è un'equazione, non un'identità!
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Con
* u = 3^x ≡ x = log(3, u)
si ha
* (27^x)*9^x = 1/(3^x + 1) ≡ (3^x)^5 - 1/(3^x + 1) = 0 ≡
≡ (3^x + 1)*(3^x)^5 - 1 = 0 ≡
≡ (3^x)^6 + (3^x)^5 - 1 = 0 ≡
≡ u^6 + u^5 - 1 = 0
con metodi grafico-numerici si approssimano due radici reali
* (u ~= - 1.2852) oppure (u ~= 0.88127) ≡
≡ (3^x ~= - 1.2852) oppure (3^x ~= 0.88127) ≡
≡ (x ~= log(3, - 1.2852)) oppure (x ~= log(3, 0.88127)) ≡
≡ (x ~= valore complesso) oppure (x ~= - 0.115) ≡
≡ x ~= - 0.115
CONTROPROVE
* (27^log(3, 0.88127))*9^log(3, 0.88127) ~= 0.5315509896720156200409407
* 1/(3^log(3, 0.88127) + 1) ~= 0.5
http://www.wolframalpha.com/input?i=%2827%5Ex%29*9%5Ex%3D1%2F%283%5Ex--1%29for+x+real