y'=x^2-y^2/xy
Scusate qualcuno può aiutarmi risolvere questo problema?
y'=x^2-y^2/xy
Scusate qualcuno può aiutarmi risolvere questo problema?
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Livello 1
Ti posso dare qualche suggerimento, ma non é un problema da scuola superiore.
Posto y =/= 0
y' = x/y - y/x
Poni poi y/x = v
y = v x
y' = v' x + v
e sostituendo
v' x + v = 1/v - v
v' x = 1/v - 2v = (1 - 2v^2)/v
v dv/dx /(1 - 2v^2) = 1/x
4v dv /(2v^2 - 1) = - 4/x dx
ln |2v^2 - 1| + 4 ln |x| = C
ln | 2v^2 - 1 | x^4 = C
2v^2 - 1 = e^C/x^4 = C/x^4
da qui ricavi v e poi y = x*v
-----------------------------------
Operativamente risulta
2v^2 - 1 = C/x4
2v^2 = 1 + C/x^4
v^2 = (x^4 + C)/(2x^4)
v = +- rad ((x^4 + C)/(2x^4))
y = +- x/x^2 rad((x^4 + C)/2)
y = +- rad(x^4 + C)/(x rad(2))
https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27+%3D+%28x%5E2-y%5E2%29%2Fxy
Wolfram conferma che é corretto.
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Livello 7
v dv/dx /(1 - 2v^2) = 1/x
⇩
4v dv /(2v^2 - 1) = - 4/x dx
Potresti spiegarmi come calcolarlo？
ho moltiplicato per 4 a sinistra e a destra per far comparire la derivata di 2v^2 - 1
e questo é allora d(2v^2 - 1)/(2v^2 - 1) = ln |2v^2 - 1)| + C
@eidosm Grazie mille!!!