Aiuto, ho fatto i procedimenti e a me torna come nella foto a destra, sul libro però compare una c. Non capisco perché
Aiuto, ho fatto i procedimenti e a me torna come nella foto a destra, sul libro però compare una c. Non capisco perché
y' = y³ / (1+x²)
ODE a variabili separabili.
y' / y³ = 1 / (1+x²)
integrando
- 1 / (2y²) = arctan(x) + c
1/y² = -2 arctan(x) + c
Osserviamo che, per questa equazione, la c non è una qualsivoglia costante ma è vincolata dal fatto che anche il secondo membro deve essere positivo.
y = ± 1 / √(c - 2arctan(x))
Osservazione sulla soluzione "francese".
Non è sbagliato, seppur ridondante, scrivere le due costanti ma, è un errore grave ipotizzare che assumano lo stesso valore c. Avrebbe dovuto scrivere
- 1 / (2y²) + c₁ = arctan(x) + c₂
- 1 / (2y²) = arctan(x) + c₂ - c₁
- 1 / (2y²) = arctan(x) + c, con la costante c = c₂ - c₁
ecco che ricompare la c.
Hai dimenticato di aggiungerla quando hai fatto l'integrale di 1/(1+x^2) dx