Equazioni di una parabola

Leggere per bene il:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Quindi un solo esercizio per volta, palesando per esso le proprie difficoltà risolutive.

Ti svolgo il primo.

y = a·x^2 + b·x + c

passa dal punto: [1, 1]

come pure la retta tangente y = x 

Applico le formule di sdoppiamento alla parabola nel punto [1, 1]

(y + 1)/2 = a·1·x + b·(x + 1)/2 + c

y = x·(2·a + b) + b + 2·c - 1

Confronto quanto ottenuto con la retta tangente y = x:

{2·a + b = 1

{b + 2·c - 1 = 0

procedo per sostituzione:

b = 1 - 2·a

(1 - 2·a) + 2·c - 1 = 0

2·c - 2·a = 0---> c = a

L'equazione della parabola che così si ottiene è parametrica in a

La metto a sistema con la retta finora non considerata:

{y = a·x^2 + (1 - 2·a)·x + a

{y = 2·x + 1

Quindi:

2·x + 1 = a·x^2 + (1 - 2·a)·x + a

a·x^2 + (1 - 2·a)·x + a - (2·x + 1) = 0

a·x^2 - x·(2·a + 1) + (a - 1) = 0

Impongo la condizione di tangenza: Δ = 0

(2·a + 1)^2 - 4·a·(a - 1) = 0

8·a + 1 = 0--> a = - 1/8

b = 1 - 2·(- 1/8)--> b = 5/4

c = - 1/8

parabola: y = - 1/2·x^2 + 5/4·x - 1/8