[Risolto] Equazioni di secondo grado e parabola2

Ciao, per calcolare l'area gialla non basta che fare la differenza fra il rettangolo con base ed altezza maggiore e il rettangolo bianco all'interno dell'area gialla, quindi

Area del rettangolo con base ed altezza maggiore

$$ A_{\operatorname{\mathrm{Re}}ttangolo}=\left(10a+2x\right)\left(4a+2x\right)=4x^2+28ax+40a^2 $$

Area del rettangolo bianco

$$ A_{rettangolo}=10a\cdot4a=40a^2 $$

Differenza fra le due aree

$$ A_{gialla}=A_{\operatorname{\mathrm{Re}}ttangolo}-A_{rettangolo}=4x^2+40a^2+28ax-40a^2=4x^2+28ax $$

Uguagliamo a $$ 15a^2 $$

$$ 4x^2+28ax=15a^2 $$

$$ 4x^2+28ax-15a^2=0 $$

Risolvendo l'equazione ottieni le soluzioni

$$ x=\frac{a}{2}\lor x=-\frac{15a}{2} $$

in questo caso solo la prima soluzione è accettabile poiché a deve rappresentare una misura di segmento

===

Pertanto la soluzione è $$ x=\frac{a}{2} $$

Problema:

In riferimento alla figura, determina x in modo che l'area della figura colorata in giallo misuri 15a².

Soluzione:

L'area gialla può esser vista come differenza tra il rettangolo delimitato dal bordo esterno ed il rettangolo delimitato dal bordo interno:

$A_{gialla}=A_1-A_2= ((2x+10a)(2x+4a))-((10a)(4a))=4x²+28ax$

Poiché l'area gialla deve essere uguale a 15a² si ha che:

$4x²+28ax=15a²$ ossia $x_1=\frac{a}{2}$, $x_2=-\frac{15a}{2}$.

Poiché a deve essere maggiore di zero, altrimenti la domanda posta non avrebbe senso, ed un'area è in valore assoluto, si ha che $x=\frac{a}{2}$.

L'area della figura colorata in giallo misura, in riferimento alla figura con (a > 0) & (x > 0),
* (10*a + 2*x)*(4*a + 2*x) - (10*a)*(4*a) = (7*a + 2*x)^2 - 49*a^2
il vincolo che realizza la condizione "misuri 15a^2" è
* ((7*a + 2*x)^2 - 49*a^2 = 15*a^2) & (a > 0) & (x > 0) ≡
≡ ((7*a + 2*x)^2 = (8*a)^2) & (a > 0) & (x > 0) ≡
≡ (7*a + 2*x = ± 8*a) & (a > 0) & (x > 0) ≡
≡ (2*x = - 7*a ± 8*a) & (a > 0) & (x > 0) ≡
≡ (x = (- 7*a ± 8*a)/2) & (a > 0) & (x > 0) ≡
≡ ((x = - 15*a/2) oppure (x = a/2)) & (a > 0) & (x > 0) ≡
≡ x = a/2