[Risolto] Equazioni di secondo grado

La condizione restrittiva "con k ≠ 2" rende lecita l'equivalenza
* p(k) = (2 - k)*x^2 + 2*(k + 3)*x - (k + 2) = 0 ≡
≡ x^2 - 2*((k + 3)/(k - 2))*x + (k + 2)/(k - 2) = 0
che riscrive l'equazione data nella forma
* x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
con
* s = (2*(k + 3)/(k - 2))
* p = (k + 2)/(k - 2)
* Δ = s^2 − 4*p
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
* (X1)^2 + (X2)^2 = s^2 − 2*p (somma dei quadrati)
* (X1)^3 + (X2)^3 = s*(s^2 - 3*p) (somma dei cubi)
* 1/X1 + 1/X2 = s/p (somma degl'inversi)
* 1/(X1)^2 + 1/(X2)^2 = (s/p)^2 - 2/p (somma dei quadrati degl'inversi)
Vedi anche al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/188982/
-----------------------------
a) "le radici sono reali e distinte" ≡ Δ > 0 ≡ s^2 > 4*p ≡
≡ (2*(k + 3)/(k - 2))^2 > 4*(k + 2)/(k - 2) ≡ (- 13/6 < k < 2) oppure (k > 2)
---------------
b) "la somma delle radici e minore o uguale a 2" ≡ s <= 2 ≡
≡ 2*(k + 3)/(k - 2) <= 2 ≡ k < 2
---------------
c) "Una radice è uguale a 1" ≡
≡ 1^2 - 2*((k + 3)/(k - 2))*1 + (k + 2)/(k - 2) = 0 ≡
≡ 6/(k - 2) = 0 ≡ impossibile
---------------
d) "La somma dei reciproci delle radici e nulla" ≡ s/p = 0 ≡
≡ (2*(k + 3)/(k - 2))/((k + 2)/(k - 2)) = 0 ≡
≡ 2*(k + 3)/(k + 2) = 0 ≡ k = - 3
NOTA: il risultato atteso è errato.
CONTROPROVA
* p(- 3) = (2 - (- 3))*x^2 + 2*(- 3 + 3)*x - (- 3 + 2) = 0 ≡
≡ x^2 + 1/5 = 0 ≡
≡ x = ± i/√5
da cui
≡ 1/x = ± √5/i
la cui somma - √5/i + √5/i = 0 è di fatto nulla.
Sono le radici a non essere reali, non il parametro che soddisfà alla consegna.
∄ k ∈ R è una castroneria bella e buona.