Equazioni di II grado

@Aurora_Lecchi 

Data l'equazione di secondo grado:

ax² + bx + c = 0

sappiamo che:

la somma delle radici è - (b/a) 

il prodotto è (c/a)

Inoltre se x= - 1 è una radice di f(x) = ax² + bx + c, allora f(-1)=0

Nel nostro caso quindi il prodotto delle radici è c/2.

Quindi: c/2 = 4  ==> c=8

Imponendo la condizione f( - 1)=0 si ricava il valore di b

2* ( - 1)² + b* ( - 1) + c = 0

Con c=8, si ricava:

b=10

Io partirei dal ripassare le proprietà delle equazioni razionali di secondo grado.
Nel caso che sul tuo libro il discorso risulti troppo sparpagliato te ne offro un minipromemoria.
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Ogni equazione razionale di secondo grado a coefficienti reali può ridursi alla forma di trinomio quadratico monico eguagliato a zero con la successione di operazioni: sottrarre membro a membro il secondo membro; sviluppare, commutare, ridurre; dividere membro a membro per il coefficiente direttore. Così si ottiene la forma normale canonica monica
* x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
dove
* s e p sono valori reali
* X1 e X2 sono le radici (che possono essere valori complessi coniugati) e sono tali che
** X1 + X2 = s (somma)
** X1 * X2 = p (prodotto)
e, se sono valori reali, tali che X1 <= X2.
Per risolvere l'esercizio 42 bastano poche considerazioni e qualche calcoletto.
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Ottenere la forma normale canonica monica; individuare s e p; rammentare le proprietà.
* 2*x^2 + b*x + c = 0 ≡ x^2 - (- b/2)*x + c/2 = 0
* p = c/2 = 4 = (- 1)*X = X1 * X2 ≡ (X1 = - 4) & (X2 = - 1) & (c = 8)
* s = - b/2 = X1 + X2 = - 4 + (- 1) = - 5 ≡ b = 10
che è proprio il risultato atteso.

2 x^2 + bx + c = 0;

x1 = - 1, sostituiamo -1 nell'equazione:

2 * (-1)^2 + b * (-1) + c = 0;

2 - b + c = 0;

c - b = - 2;

poi sappiamo che x1 * x2 = 4;

(-1) * x2 = 4;

x2 = - 4; (seconda soluzione dell'equazione).

2 x^2 + bx + c = 0

2 * (- 4)^2 + b * (- 4) + c = 0;

32 - 4b + c = 0;

abbiamo due equazioni con incognite c; b

c = 4b - 32;

c - b = - 2,

4b - 32 - b = - 2;

3b = 32 - 2;

b = 30 / 3;

b = 10;

c = - 2 + b = - 2 + 10 = 8;

L'equazione data sarà:

2x^2 + 10x + 8 = 0.

@aurora_lecchi  ciao.