[Risolto] Equazioni di grado superiore al secondo

Vacqua = pi * 4^2 * 4 - 4/3 * pi * 2^3 =

= 64 pi - 32/3 pi = 160/3 pi

Ora sostituendo 2 con r

il volume dell'acqua deve essere lo stesso

pi * 4^2 * 2r - 4/3 pi r^3 = 160 pi/3

dividiamo per 4/3 pi

24r - r^3 = 40

r^3 - 24r + 40 = 0

Ora dall'esperimento di Barbara é noto che una radice é r = 2

infatti 8 - 48 + 40 = 0

Si può quindi usare la scomposizione con la regola di Ruffini oppure,

come farò io, usando il principio di identità dei polinomi

(r - 2) (r^2 - kr - 20) = 0

r^3 - kr^2 - 20r - 2r^2 + 2kr + 40 = 0

r^3 - (k+2) r^2 + 2(k - 10) r + 40 = 0

k+2 = 0 & 2k - 20 = -24 sono soddisfatte per k = -2

r^2 + 2r - 20 = 0

k = -1 + rad(1+20) = rad(21) - 1

é l'unica radice accettabile essendo l'altra negativa.

Altezza h = 4 cm; raggio di base R = 4 cm; volume cilindrico C = h*π*R^2 = 64*π cm^3.
Volume sfera nota di raggio r = 2 cm: S = (4/3)*π*2^3 = (32/3)*π cm^3.
Volume acqua A = C - S = (160/3)*π cm^3.
Volume sfera di raggio r cm != R, incognito: s = (4/3)*π*r^3.
"... nota ... ancora tangente ..." ≡ A + s = 2*r*π*4^2 = 32*π*r cm^3 ≡
≡ (160/3)*π + (4/3)*π*r^3 = 32*π*r ≡
≡ 160/3 + (4/3)*r^3 - 32*r = 0 ≡
≡ r^3 - 24*r + 40 = 0 ≡
≡ (r - 2)*(r^2 + 2*r - 20) = 0 ≡
≡ (r - 2)*(r - (- 1 - √21))*(r - (- 1 + √21)) = 0 ≡
≡ r ∈ {- 1 - √21, 2, - 1 + √21} cm
e le due radici positive sono proprio il dato (2 cm) e il risultato atteso (√21 - 1 cm).