[Risolto] Equazioni di 2° grado problemi pratici

@salvonardyn

Ciao di nuovo. Conviene fare uno schema:

In base a questo schema segui quanto dice il testo. Puoi allora scrivere 2 equazioni a sistema:

{x = y - 2

{108/x = 120/y + 3

che costituisce il modello matematico del problema stesso. Lo risolvi ed ottieni:

[x = 6 ∧ y = 8, x = -12 ∧ y = -10]

Scarti la seconda soluzione perché negativa:

x=6 N° prove di Alice

y=8 N° prove di Riccardo

Riccardo e Alice suonano ... quante volte ?

nR = 120/t

nA = (120 - 12)/(t+3) = 108/(t+3)

120/t - 108/(t+3) = 2

120(t+3) - 108 t = 2t(t+3)

120t + 360 - 108t = 2t^2 + 6t

2t^2 - 6t - 360 = 0

t^2 - 3t - 180 = 0

t = (3 + sqrt(9 + 720))/2 = 15 minuti

nR = 120/15 = 8

nA = 108/18 = 6

8 - 6 = 2

n = 120/t  (*1)

n-2 = (120 - 12)/(t+3)

n-2 = 108/(t+3)  (*2)

sostituisco nella (*2) n ricavato dalla (*1)

120/t - 108/(t+3) = 2

120*(t+3) - 108t = 2t*(t+3)

120t + 360 - 108t = 2t^2 + 6t

2t^2 - 6t - 360 = 0

t = (6±√6^2+360*8)/4 = 15

n = 120/15 = 8

n-2 = 6 

Ti consiglio di utilizzare questo metodo. È il metodo migliore inoltre ti consiglio quando ne hai bisogno di scrivermi direttamente in privato  

La mia routine mentale (e scrittoria!) che applico alla impostazione dei problemi (e che spesso mi facilita la risoluzione, ma a volte mi costringe a ricostruirmi il modello matematico prodotto) è un po' pallosa, ma mi dà comunque un modello del problema su cui partire a ragionare.
Prima fase
Assegnare un nome simbolico a ciascuna entità descritta in narrativa e associargli, se c'è, il valore dato.
Seconda fase
Scrivere, nei termini dei nomi assegnati, le relazioni fra le entità nominate; sia che tali relazioni siano descritte in narrativa e sia che "si debbano sapere" in quanto proprietà caratteristiche delle entità.
Il modello grezzo del problema è un'opportuna rappresentazione dell'insieme di
NOMI, VALORI, RELAZIONI, ANNOTAZIONI
Variabili a valore positivo, tempi in minuti.
* a = numero di prove di Alice = incognita#1
* r = numero di prove di Riccardo = incognita#2
* a = r - 2 ≡ "Alice prova due volte in meno di Riccardo"
* d minuti = durata di una prova di Riccardo = variabile intermedia
* d + 3 min = durata di una prova di Alice
* T = 2 ore = 120 min = tempo disponibile per ciascuno
* r*d = 120 ≡ "Riccardo le sfrutta per intero"
* a*(d + 3) = 120 - 12 ≡ "Alice libera la sala 12 minuti prima"
da cui il
MODELLO GREZZO (MG)
* MG ≡ (a = r - 2) & (r*d = 120) & (a*(d + 3) = 120 - 12) & (a > 0) & (r > 0) & (d > 0)
RISOLUZIONE
* MG ≡ (a = r - 2) & (r*d = 120) & (a*(d + 3) = 120 - 12) & (a > 0) & (r > 0) & (d > 0) ≡
≡ (a = r - 2) & (d = 120/r) & ((r - 2)*(120/r + 3) = 108) & (a > 0) & (r > 0) & (d > 0) ≡
≡ (a = r - 2) & (d = 120/r) & ((r = - 10) oppure (r = 8)) & (a > 0) & (r > 0) & (d > 0) ≡
≡ (a = r - 2) & (d = 120/r) & (r = 8) ≡
≡ (a = 8 - 2) & (d = 120/8) & (r = 8) ≡
≡ (a = 6) & (r = 8) & (d = 15)
soluzione che contiene il risultato atteso.