[Risolto] Equazioni con valori assoluti

RIPASSO
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I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre.
Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
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Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) oppure (a = + b) [unione]
c) |a| >= b ≡ (a <= - b) oppure (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
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Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}.
Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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NEL CASO IN ESAME
* |4 + x| - 3*|x| = 2 + |2 - x|
si tratta di equazione (caso b) con tre valori assoluti quindi con tre cicli di {isolare, sdoppiare}: otto equazioni elementari, salvo duplicati.
Gli sdoppiamenti si fanno per sostituzione nello schema
* (a = - (b)) oppure (a = b)
Dal momento che ogni sdoppiamento equivale a una quadratura (|x| = √(x^2)) e quindi può introdurre spurie o si fanno i calcoli portandosi dietro le condizioni restrittive oppure si predispone una verifica d'ammissibilità delle radici trovate; in questo caso l'equazione equivalente
* f(x) = |4 + x| - 3*|x| - |2 - x| - 2 = 0
il cui primo membro deve azzerarsi per ciascuna radice ammissibile e, viceversa, il cui azzerarsi certifica la radice come ammissibile.
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1) |4 + x| - 3*|x| = 2 + |2 - x| ≡
≡ |4 + x| = 2 + |2 - x| + 3*|x| ≡
≡ (4 + x = - (2 + |2 - x| + 3*|x|)) oppure (4 + x = 2 + |2 - x| + 3*|x|) ≡
≡ (6 + x = - |2 - x| - 3*|x|) oppure (2 + x = |2 - x| + 3*|x|) ≡
≡ (|x| = - (|2 - x| + (6 + x))/3) oppure (|x| = (2 + x - |2 - x|)/3)
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2a) |x| = - (|2 - x| + (6 + x))/3 ≡
≡ (x = - (- (|2 - x| + (6 + x))/3)) oppure (x = - (|2 - x| + (6 + x))/3)
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2b) |x| = (2 + x - |2 - x|)/3 ≡
≡ (x = - (2 + x - |2 - x|)/3) oppure (x = (2 + x - |2 - x|)/3)
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2) |x| = ± (2 + x - |2 - x|)/3 ≡
≡ (x = - (2 + x - |2 - x|)/3) oppure (x = (2 + x - |2 - x|)/3) ≡
≡ (|2 - x| = 2 + 4*x) oppure (|2 - x| = 2 - 2*x)
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3a) |2 - x| = 2 + 4*x ≡
≡ (2 - x = - (2 + 4*x)) oppure (2 - x = 2 + 4*x) ≡
≡ (x = - 4/3) oppure (x = 0)
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3b) |2 - x| = 2 - 2*x ≡
≡ (x = 4/3) oppure (x = 0)
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SOLUZIONE
* |4 + x| - 3*|x| = 2 + |2 - x| ≡ x in {- 4/3, 0, 4/3}
Verifica anti spurie
* f(- 4/3) = - 20/3 NOBBUONO!
* f(+ 4/3) = - 4/3 NOBBUONO!
* f(0) = 0 Ok
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CONTROPROVA nel paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%7C4--x%7C-3*%7Cx%7C%3D2--%7C2-x%7C

@fratt

Ciao

Devi liberare i tre moduli:

ABS(4 + x) - 3·ABS(x) = 2 + ABS(2 - x)

quindi:

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{ABS(4 + x) = 4 + x

{x ≥ -4

e quindi

{ABS(4 + x) = - (4 + x)

{x < -4

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{ABS(x) = x

{x ≥ 0

e quindi

{ABS(x) = -x

{x < 0

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{ABS(2 - x) = 2 - x

{x ≤ 2

e quindi:

{ABS(2 - x) = x - 2

{x>2

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A questo punto scrivi :

Sistema 1

{- (4 + x) - 3·(-x) = 2 + (2 - x)

{x<-4

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Sistema 2

{(4+x)-3(-x)=2+(2-x)

{-4 < x ≤ 0

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Sistema 3

{(4+x)-3(x)=2+(2-x)

{0 < x ≤ 2

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Sistema 4

{(4+x)-3(x)=2+(x-2)

{x>2

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Risolvi i 4 sistemi ed unisci le 4 soluzioni

Puoi verificare che l'unico sistema che fornisce una soluzione accettabile è il secondo x=0

Verificato con WOLFRAMALPHA:

|4 + x| - 3|x| = 2 + |2 - x|

Ci sono tre valori assoluti e non ci sono scorciatoie

4 + x >= 0 per x >= -4

x >= 0 per x >= 0

2 - x >= 0 per x <= 2

                                    -4              0                              2

4 + x ----------------------++++++++++++++++++++++++++++

x       -----------------------------------+++++++++++++++++++++

2 - x ++++++++++++++++++++++++++++++++++------------

Si identificano quattro intervalli

I) x < -4 perché lo zero é associato ai positivi

-4 - x - 3(-x) = 2 + 2 - x

- 4 + 3x = 4 - x

4x = 8

x = 2 non accettabile perché non é minore di -4

II) - 4 <= x < 0

4 + x - 3(-x) = 2 + 2 - x

4 + 3x + 4x = 4 - x

7x + x = 0

8x = 0

x = 0 non accettabile perché non é minore di 0

III) 0 <= x <= 2

4 + x - 3x = 2 + 2 - x

- 2x + x = 4 - 4

- x = 0

x = 0 questa volta é accettabile perché in [0, 2] : x1 = 0

IV) x > 2

4 + x - 3x = 2 + x - 2

4 - 3x = 0

x = 4/3 non accettabile perché non é maggiore di 2

Non ci sono altre soluzioni. Symbolab conferma.