[Risolto] Equazioni complesse

Il quesito é molto interessante.

Poni z = a + ib

| (a + ib)^2 + 1 | = (a + ib) - (a+ib)^2

| a^2 - b^2 + 1 + i*2ab | = a + ib - a^2 +b^2 - 2aib

Ora la parte sinistra é un modulo, quindi un reale non negativo.

Perché lo sia anche la parte destra deve risultare

a - a^2 + b^2 >= 0

b - 2ab = 0 =>  b(1 - 2a) = 0 => b = 0 V a = 1/2

Sia dapprima b = 0

In questo caso a - a^2 >= 0 =>  a^2 - a <= 0 =>  0 <= a <= 1

e inoltre | a^2 + 1 | = a - a^2

a^2 + 1 + a^2 - a= 0

2a^2 - a + 1 = 0   con a reale

e questa non ha soluzioni perché D = 1 - 4*2*1 = -7 < 0

Quindi deve essere a = 1/2

e risulta

|1/4 - b^2 + 1 + ib| = 1/2 - 1/4 + b^2

tenendo conto che la parte immaginaria a destra é nulla

per come abbiamo scelto a. Di conseguenza ne risulta

| 5/4 - b^2 + ib | = 1/4 + b^2

e quadrando

25/16 + b^4 - 5/2 b^2 + b^2 = 1/16 + b^4 + 1/2 b^2

riducendo

24/16 = 5/2 b^2 + 1/2 b^2 - b^2

2b^2 = 3/2

b^2 = 3/4

b = +- rad(3)/2

z1 = 1/2 - 1/2 i rad 3

z2 = 1/2 + 1/2 i rad 3

confermate da Wolfram.

ABS(z^2 + 1) = z - z^2

z = a + b·i

Il 1° membro è il modulo di un numero complesso quindi numero reale positivo. Tale numero complesso, vale:

(a + b·i)^2 + 1 = (a^2 - b^2 + 1) + 2·i·a·b

Il suo modulo vale:

ABS(z^2 + 1)= √((a^2 - b^2 + 1)^2 + (2·a·b)^2) =

=√(a^4 + 2·a^2·b^2 + 2·a^2 + b^4 - 2·b^2 + 1)

Il 2° membro deve essere un numero reale:

z - z^2= (a + b·i) - (a + b·i)^2 = - a^2 + a + b^2 + i·(b - 2·a·b)

quindi deve essere:

b - 2·a·b = 0---> b·(1 - 2·a) = 0

cioè: a = 1/2 ∨ b = 0

Escludiamo b=0 perché cerchiamo un numero complesso.

Il primo membro risulta:

√((1/2)^4 + 2·(1/2)^2·b^2 + 2·(1/2)^2 + b^4 - 2·b^2 + 1)=

=√(16·b^4 - 24·b^2 + 25)/4

Il secondo membro risulta:

- (1/2)^2 + 1/2 + b^2 = b^2 + 1/4

Quindi deve risultare:

√(16·b^4 - 24·b^2 + 25) = 4·b^2 + 1

Eleviamo al quadrato:

16·b^4 - 24·b^2 + 25 = 16·b^4 + 8·b^2 + 1

Quindi:

32·b^2 - 24 = 0----> b = - √3/2 ∨ b = √3/2

Abbiamo come soluzione due numeri complessi coniugati:

z = 1/2 - √3/2·i   e  z = 1/2 + √3/2·i

Ti sei fatto ingannare dalla forma? z - z^2 dev'essere reale perché |z^2 + 1|, essendo un modulo, è reale.
* Im[z - z^2] = Im[(x + i*y) - (x + i*y)^2] =
= Im[y^2 - x^2 + x + i*(y - 2*x*y)] =
= (1 - 2*x)*y = 0 ≡
≡ (x = 1/2) oppure (y = 0)
* Re[z - z^2] = y^2 - x^2 + x
---------------
A) x = 1/2
* z = 1/2 + i*y
* |z^2 + 1| = |(1/2 + i*y)^2 + 1| = |5/4 - y^2|
* Re[z - z^2] = y^2 + 1/4
* y^2 + 1/4 = |5/4 - y^2| ≡ (y = - 1/√2) oppure (y = 1/√2)
da cui
* Z = (1/2 ± i/√2)
---------------
B) y = 0
* z = x
* |z^2 + 1| = |x^2 + 1|
* Re[z - z^2] = x - x^2
* x - x^2 = |x^2 + 1| ≡ (x = (1 - i*√3)/2) oppure (x = (1 + i*√3)/2)
INACCETTABILI: x è Re[z].