Determina l'equazione della circonferenza tangente alla retta t passante per A (0;3) e B (6; 1) e avente il centro di ascissa 2 sull'asse del segmento AB. Trova poi il fascio di circonferenze individuato dall'equazione precedente e avente per asse radicale la retta t. Tra le circonferenze del fascio individua quella che stacca sull'asse x una corda lunga 3 e non interseca l'asse delle y.
Determina l'equazione della circonferenza tangente alla retta t passante per A (0;3) e B (6; 1) e avente il centro di ascissa 2 sull'asse del segmento AB.
Determino la retta t passante per A(0,3) e B(6,1):
La retta AB congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) è * per a = b: AB ≡ x = a * per p = q: AB ≡ y = p * per (p = k*a) & (q = k*b): AB ≡ y = k*x * per a != b: AB ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b) ------------------------------ L'asse del segmento AB di estremi due dati punti A(a, p) e B(b, q) è * Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2 * Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q)) ------------------------------ La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è * d(u, v, m, q) = √((m*u + q - v)^2/(m^2 + 1)) ------------------------------ A) "Determina l'equazione ... sull'asse del segmento AB." Con i punti * A(0, 3), B(6, 1) si hanno le rette * t ≡ y = 3 - x/3 * asse(AB) ≡ y = 3*x - 7 * (x = 2) & (y = 3*x - 7) ≡ C(2, - 1) e il raggio * r = distanza di C da t = √10 da cui l'equazione della circonferenza richiesta * Γ ≡ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = (√10)^2 ≡ ≡ x^2 - 4*x + y^2 + 2*y - 5 = 0 tangente t in T * (y = 3 - x/3) & ((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 10) ≡ T(3, 2) --------------- B) "Trova poi ... asse radicale la retta t" ... e per asse centrale la retta * CT ≡ asse(AB) ≡ y = 3*x - 7 Il fascio richiesto consiste delle circonferenze * tangenti t in T * di centri C(k, 3*k - 7) * di raggi r = |CT| = √(10*(k - 3)^2) ed ha equazione * Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (3*k - 7))^2 = 10*(k - 3)^2 --------------- C) "Tra le circonferenze del fascio ... non interseca l'asse delle y." Questo vuol dire che fra le circonferenze del fascio si deve scegliere solo quelle che hanno C1) zero intersezioni con l'asse y * (x = 0) & ((x - k)^2 + (y - (3*k - 7))^2 = 10*(k - 3)^2) ≡ ≡ (x = 0) & (y^2 - 2*(3*k - 7)*y + (18*k - 41) = 0) * Δ(k) = 36*k^2 - 240*k + 360 < 0 ≡ ≡ (10 - √10)/3 < k < (10 + √10)/3 C2) due intersezioni con l'asse x distanti 3 * (y = 0) & ((x - k)^2 + (y - (3*k - 7))^2 = 10*(k - 3)^2) ≡ ≡ (y = 0) & (x^2 - 2*k*x + (18*k - 41) = 0) ≡ ≡ (k - √(k^2 - 18*k + 41), 0) oppure (k + √(k^2 - 18*k + 41), 0) distanti * d(k) = 2*√(k^2 - 18*k + 41) quindi * (2*√(k^2 - 18*k + 41) = 3) & ((10 - √10)/3 < k < (10 + √10)/3) ≡ ≡ k = 5/2 da cui * Γ(5/2) ≡ (x - 5/2)^2 + (y - (3*5/2 - 7))^2 = 10*(5/2 - 3)^2 ≡ ≡ (x - 5/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 5/2 ≡ ≡ x^2 - 5*x + y^2 - y + 4 = 0