Trova le equazioni delle bisettrici e le coordinate dell'incentro del triangolo i cui vertici hanno coordinate A(1;1), B(-2;4), C(-3;-3)
Risposte y = 1; y = -3x - 2; y = 2x + 3 ; I (-1; 1).
Chiedo gentilmente di svolgere l'esercizio senza ricorrere alla trigonometria di cui ho poche e lontane conoscenze; per quanto riguarda le coordinate dell'incentro ho trovato una formula, piuttosto complessa, ma al limite la posso usare: comunque è fondamentale conoscere prima le 3 equazioni delle bisettrici.
Grazie a tutti come sempre per il vostro costante e prezioso aiuto.
Ciao grazie per avermi risposto con il grafico; se e quando avrai tempo mi servirebbe però la soluzione analitica. Buona giornata e buon 2 giugno. Ancora vivi ringraziamenti per tutto il tempo che occupi per me.
Ciao; grazie per la risposta; sto cercando di trovare le altre bisettrici ma non ci riesco; per es, tu hai trovato la retta y = 1 come bisettrice del vertice A imponendp l'equidistanza di un punto generico fra le rette AB e AC , però se voglio trovare la bisettrice del vertice B quali sono le rette su cui devo ripetere l'operazione da te indicata? E per il vertice C? Se potessi darmi un'indicazione, oppure svolgere questi 2 punti, poi sarei in grado di trovare l'incentro. Ti ringrazio ancora per l'attenzione che poni ai miei quesiti e il tempo che dedichi per risolvere i miei dubbi. Buona serata
Ciao, chiedo scusa; ho provato ad eseguite le 2 operazioni che mi hai indicato, ma mi risultano dei calcoli con numeri enormi, senza che giunga mai alla conclusione. Per trovare le coordinate della bisettrice B ho imposto equidistanza di (x;y) punto generico di tale bisettrice delle rette : AB e BC . L'equazione della retta BC è -7x + y - 18 = 0 ,mentre per la retta AB è x + y - 2 = 0. Poi ho eseguito lo stesso procedimento tuo, ma i calcoli si complicano ; -7x + y - 18/rad (-7)^2 + 1^2 = x + y -2 / rad 1^2 + 1^2; procedendo ottengo : -7x + y - 18/ rad 50 = x+ y -2 /rad 2.Razionalizzo i denominatori e ottengo : (-7x + y -18) *rad 50/50 = (x+ y -2) * rad 2 /2. A questo punto libero i denominatori e ottengo : (-7x + y -18) *rad 50 = 25 *rad2 (x+y -2). Ora devo elevare ambo i membri al quadrato e qui ottengo numeri che non hanno senso e che non mi fanno risolvere l'esercizio. Stessa cosa dicasi per trovare le coordinate del punto C. Ora vado ad ascoltare un pò di musica classica, che mi dà forza e armonia. Vedi tu cosa puoi fare; credo ci sia o un' errata interpretazione del procedimento da parte mia o qualche svista algebrica. Grazie comunque per la lettura di questo messaggio; se trovi errori di qualsiasi tipo, per favore, fammeli notare; sono molto stanco perché è praticamente tutto il giorno che sto lavorando su questo esercizio e, vista la mia caparbietà, mi dispiace dire che mi sono dovuto arrendere, quando poi, concettualmente è già tutto risolto. Attendo, senza alcuna pretesa e tempistica una tua ennesima risposta per far sì che anche questa volta possa trovare la giusta soluzione al problema.
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Dei tre vertici * A(1, 1), B(- 2, 4), C(- 3, - 3) i due con coordinate eguali sono allineati sulla bisettrice dei quadranti dispari * AC ≡ r ≡ y = x mentre le rette degli altri due lati sono le congiungenti * AB ≡ s ≡ y = 2 - x * BC ≡ t ≡ y = 7*x + 18 --------------- Poiché tutt'e tre le rette dei lati hanno la forma * r ≡ y = m*x + q la loro distanza dal generico punto P(u, v) è * d(r, P) = d(u, v, m, q) = √((m*u + q - v)^2/(m^2 + 1)) ------------------------------ L'incentro I(xI, yI) = (u, v) è l'unico punto del piano equidistante dai lati e la comune distanza è l'inraggio R. Le distanze da eguagliare sono * d(r, I) = √((u - v)^2/2) * d(s, I) = √((u + v - 2)^2/2) * d(t, I) = √((v - 7*u - 18)^2/50) e il sistema risolutivo ha tre equazioni in (R, u, v) * (u - v)^2/2 = (u + v - 2)^2/2 = (v - 7*u - 18)^2/50 = R^2 e i vincoli di raggio positivo e incentro interno ad ABC, cioè (con (x, y) = (u, v)) * (R > 0) & (y > x) & (y < 2 - x) & (y < 7*x + 18) ≡ ≡ (- 3 < x <= - 2) & (x < y < 7*x + 18) & (R > 0) oppure ≡ (- 2 < x < 1) & (x < y < 2 - x) & (R > 0) --------------- Con un po' di passaggi si trova che * (u = - 1) & (v = 1) & (R = √2) da cui * incentro I(- 1, 1) * incerchio (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2 ------------------------------ Le equazioni delle bisettrici si trovano come luogo dei punti (u, v) equidistanti dai lati che convergono su un vertice sotto il vincolo di incentro interno ad ABC. Ciò perché il calcolo del luogo produce un'iperbole equilatera degenere sugli asintoti che si spezza in una coppia di rette perpendicolari incidenti sul vertice dei quattro angoli bisecati; imporre i vincoli * (y > x) & (y < 2 - x) & (y < 7*x + 18) assicura di scegliere, da ciascuna delle tre coppie, la bisettrice interna. --------------- * (r, s), α: ((x - y)^2/2 = (x + y - 2)^2/2) & (y > x) & (y < 2 - x) & (y < 7*x + 18) ≡ ≡ (y = 1) & (- 17/7 < x < 1) --------------- * (s, t), β: ((x + y - 2)^2/2 = (y - 7*x - 18)^2/50) & (y > x) & (y < 2 - x) & (y < 7*x + 18) ≡ ≡ (y = - 3*x - 2) & (- 2 < x < - 1/2) --------------- * (r, t), γ: ((x - y)^2/2 = (y - 7*x - 18)^2/50) & (y > x) & (y < 2 - x) & (y < 7*x + 18) ≡ ≡ (y = 2*x + 3) & (- 3 < x < - 1/3)
