Equazioni binomiali.

Ricordando la definizione di $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ riscriviamo tutto in questa seconda forma

$\frac{(n-1)!}{4!(n-5)!} = \frac{n}{20} \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!}$

$5!20(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=4!n^2(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$

Possiamo escludere le soluzioni: $n=1,\ n =2,\ n=3,\ n=4$ perché non sono accettabili, in quanto $n-5 \geq 0$.

$2400=24n^2$

$100=n^2$

$n=10$

Per lo stesso motivo abbiamo scartato $n=-10$.

$ {{n-1} \choose 4} = \frac{n}{20} {n \choose 5} $

$ {{n-1} \choose 4} = \frac{n}{20} \left[ {{n-1} \choose 5} + {{n-1} \choose 4}\right] $

$ {{n-1} \choose 4} = \frac{n}{20} {{n-1} \choose 5} + \frac{n}{20}{{n-1} \choose 4} $

$ {{n-1} \choose 4} \left( 1-\frac{n}{20}\right)  = \frac{n}{20} {{n-1} \choose 5} $

$ {{n-1} \choose 4} \left(\frac{20-n}{20}\right)  = \frac{n}{20} {{n-1} \choose 5} $

$ {{n-1} \choose 4} = \frac{n}{20-n} {{n-1} \choose 5} $

$ \frac{1}{4!}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = \frac{n}{20-n} \frac{1}{5!}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) $

$ \frac{1}{4!} = \frac{n}{20-n} \frac{1}{5!}(n-5) $

$ 5 = \frac{n}{20-n}(n-5) $

Equazione che ammette due soluzioni

• n = -10   da scartare è negativa
• n = 10    questa è l'unica soluzione.