Equazioni binomiali.

$ { n \choose 3} - {{n-1} \choose 3} = 21 $

$ \frac{1}{6} (n-2)(n-1)n - \frac{1}{6}(n-3)(n-2)(n-1) = 21 $

$ (n-2)(n-1)n - (n-3)(n-2)(n-1) = 126 $

$ (n-2)(n-1) (n - n+3) = 126 $

$ 3 (n-2)(n-1) = 126 $

$ (n-2)(n-1) = 42 $

$ n^2-3n+2 = 42 $

$ n^2 - 3n -40 = 0 $

Le due soluzioni sono:

• n = -5       da scartare essendo negativo.
• n = 8

$ \left( \begin{matrix}\text{n}\\ 3\end{matrix} \right) =\frac{n!}{3!\left( n-3 \right) !} $

Analogamente per il secondo termine si avrà 

$ \left( {}_{3}^{n-1} \right) =\frac{\left( n-1 \right) !}{3!\left( n-4 \right) !} $

per cui l’equazione diventa

$ \frac{n\left( n-1 \right) \left( n-2 \right)}{6} -\frac{\left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \left( n-3 \right)}{6} = 21 $

Sviluppando e semplificando si ottiene un’equazione di II grado in n

$ n^{2}-3n-40=0 $

che ha due soluzioni di cui l’unica accettabile è 8 (essendo l’altra, - 5, negativa)