Equazioni binomiali.

$ {{n+1} \choose 4} + {n \choose 4} = 3n^2-6n $

$ \frac{1}{24} (n+1)n(n-1)(n-2) + \frac{1}{24} n(n-1)(n-2)(n-3) = 3n^2-6n $

$ \frac{1}{24} n(n-1)(n-2)(n+1+ n-3) = 3n^2-6n $

$ \frac{1}{24} n(n-1)(n-2)2(n-1) = 3n^2-6n $

$ \frac{1}{12} n(n-1)(n-2)(n-1) = 3n^2-6n $

$ n^4-4n^3+5n^2-2n = 36n^2-72n $

$ n^4 - 4n^3 -31n^2 +70n = 0 $

Una soluzione è per n = 0 da scartare essendo minore di 4.

$ n^3 - 4n^2 - 31n +70 = 0 $

Sappiamo che se un polinomio monico ammette una radice razionale x₀ allora questa sarà un divisore del termine noto. Il tal caso per il teorema di Ruffini il polinomio sarà dividibile per (n-x₀)

Osserviamo che per n = 2 l'equazione è soddisfatta quindi possiamo dividere per (n-2).

La soluzione per n = 2 è da scartare essendo minore di 4.

Procediamo con la divisione. $ (n^3 - 4n^2 - 31n +70):(n-2) = n^2-2n-35 = 0 $

Quest'ultimo è un polinomio di secondo grado del quale sappiamo calcolare le radici. 

Le radici sono:

• n = -5       da scartare poiché negativa
• n = 7  quest'ultima è l'unica soluzione accettabile.