Equazioni binomiali.

5·COMB(n, 3) = COMB(n + 2, 3)

5·(n!/((n - 3)!·3!)) = (n + 2)!/((n + 2 - 3)!·3!)

5·(n!/((n - 3)!·3!)) = (n + 2)!/((n - 1)!·3!)

5·(n!/(n - 3)!) = (n + 2)!/(n - 1)!

5·(n!/(n - 3)!) = (n + 2)·(n + 1)·n!/((n - 1)·(n - 2)·(n - 3)!)

5 = (n + 2)·(n + 1)/((n - 1)·(n - 2))

5·((n - 1)·(n - 2)) = (n + 2)·(n + 1)

n ≠ 1 ∧ n ≠ 2

5·(n^2 - 3·n + 2) = n^2 + 3·n + 2

5·n^2 - 15·n + 10 - (n^2 + 3·n + 2) = 0

4·n^2 - 18·n + 8 = 0

risolvo ed ottengo:

n = 1/2 ∨ n = 4

soluzione in grassetto.

dalla definizione segue che

$ 5 {n \choose 3} = { {n+2} \choose 3} $

$ 5 \frac{1}{6} n(n-1)(n-2) = \frac{1}{6} (n+2)(n+1)n $

Risulta evidente che una soluzione è n = 0.

Semplifichiamo e determiniamo le altre

$ 5 (n-1)(n-2) = (n+2)(n+1) $

$ 5n^2-15n+10 = n^2+3n+2 $

$ 4n^2 -18n+8 = 0 $

le altre due soluzioni sono n = 1/2  V n = 4

Le tre soluzioni sono:

• $ n = \frac{1}{2} $
• $ n = 4 $
• $ n = 0$