EQUAZIONI APPARTENENTI AD UN INTERVALO.

Problema:

Risolva la seguente equazione nell'intervallo dato:

$\sin x =\frac{1}{2}$ $[-2π,π]$

Soluzione:

Risolvendo l'equazione senza considerare l'intervallo si ottiene:

$\sin x =\frac{1}{2} \rightarrow x = \arcsin \frac{1}{2} +2kπ \vee x = π- \arcsin \frac{1}{2} +2kπ \rightarrow x = \frac{π}{6} +2kπ \vee x=\frac{5π}{6} +2kπ, k \in \mathbb{Z}$

Poiché l'intervallo dato è $[-2π, 0] \cup [0, π]$, si ha che la prima parte è una circonferenza percorsa in senso orario mentre la seconda parte è una semicirconferenza percorsa in senso antiorario. Poiché l'equazione in una circonferenza presenta due soluzioni si ha che si avranno quattro soluzioni dato che in questo caso sono entrambe presenti nella semicirconferenza superiore. 

In $[0,π]$ le soluzioni sono quelle con $k=0$: 

$x_1 = \frac{π}{6}$, $x_2=\frac{5π}{6}$

In $[-2π,0]$ le soluzioni sono quelle con $k=-1$:

$x_3 = \frac{π}{6} -2π  \rightarrow x_3=-\frac{11}{6}$,

$x_4=\frac{5π}{6} -2π \rightarrow x_4=-\frac{7π}{6}$

Il trucco è dividere l'intervallo dato in più circonferenze e porre il periodo con $k$ nel risultato generale pari al valore iniziale dell'intervallo della circonferenza scelta, ad esempio nella circonferenza $[-2π,0]$ è stato fissato il valore $k$ secondo la seguente equazione: $+2kπ=-2π, k \in \mathbb{Z}$.