[Risolto] equazioni altezze

Ciao! 

Le altezze sono quei segmenti del triangolo che, partendo da un vertice, cadono perpendicolarmente al lato opposto.

Quindi, quello che vogliamo trovare è l'equazione della retta che è perpendicolare ad un lato e passa per il vertice opposto.

Ad esempio: l'altezza relativa per il lato AB è la retta perpendicolare al lato AB e passante per il punto C.

Cominciamo!

Il segmento AB giace su una retta di cui possiamo calcolare il coefficiente angolare:

$m_{AB} = \frac{ y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{4-2}{4-(-2)} = \frac{2}{6} = \frac13 $

il coefficiente angolare di una retta ad essa ortogonale è il reciproco opposto di $m_{AB}$, quindi:

$m_{ort} = -\frac{1}{m_{AB}} = -3 $

quindi possiamo calcolare la retta con questo coefficiente angolare e passante per il vertice $C$:

$y-y_C = m_{ort} (x-x_C) $

$y-(-4) = -3(x-2) $

$y+4 = -3x +6 $

$y = -3x +2 $

Per l'altezza relativa al lato $BC$, invece:

calcoliamo $m_{BC} = \frac{ y_B-y_C}{x_B-x_C} = \frac{2-(-4)}{-2-2} = -\frac{6}{4} = -\frac32 $

allora quello della retta ad essa ortogonale è : $m_{ort} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac23 $

calcoliamo la retta con questo coefficiente angolare passante per punto $A$:

$y-y_A = m_{ort} (x-x_A) $

$y-4 = \frac23 (x-4)$

$y = \frac23 x +1 $

Per l'altezza relativa al lato $AC$, invece:

calcoliamo $m_{AC} = \frac{ y_A-y_C}{x_A-x_C} = \frac{4-2}{4-(-4)} = \frac{2}{8} =\frac14$

allora quello della retta ad essa ortogonale è : $m_{ort} = -\frac{1}{m_{AC}} =-4 $

calcoliamo la retta con questo coefficiente angolare passante per punto $B$:

$y-y_B = m_{ort} (x-x_B) $

$y-2 = -4(x-2)$

$y = -4x +10 $